Z变换

定义

• 一个离散时间信号$x[n]$的$z$变换定义为
  $$X(z)= \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}$$
• 在连续时间情况下,当变换变量的实部为零时,拉普拉斯变换就变为傅里叶变换;在z变换中是当变换变量z的模为1时,即$z=e^{jw}$时,z变换就演变为傅里叶变换.

收敛域

• $X(z)$的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环
• 收敛域内不包含任何极点
• 如果$x[n]$是有限长序列,那么收敛域就是整个z平面,可能去除$z=0$和$z=\infty$
• 如果$x[n]$是一个右边序列,并且$|z|=r_0$的圆位于收敛域内,那么$|z|>r_0$的全部有限z值都一定在整个收敛域内.
• 如果$x[n]$是一个左边序列,并且$|z|=r_0$的圆位于收敛域内,那么$0<|z|<r_0$的全部z值都一定在整个收敛域内.
• 如果$x[n]$是一个双边序列,并且$|z|=r_0$的圆位于收敛域内,那么该收敛域在z域中一定是包含$|z|=r_0$这一圆环的环状区域
• 如果$x[n]$的z变换也是有理的,并且$x(z)$是右边序列,那么收敛域就位于z平面内最外层极点的外边