三元环计数

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#图论 #算法

博客探讨了如何计算图中三元团（三元环）的数量，提出了一种O(mm)时间复杂度的算法。算法通过让度数高的点连接度数低的点，枚举节点及其邻居来避免重复计算，确保图是一个有向无环图（DAG）。

三元环计数

就是考试的时候整了一个这个科技，我没想出来，然后无了…

具体来说就是计算图中三元团的个数。

有一个 O(mm)O(m\sqrt m)O(mm ​) 的算法：

  • 让度数大的点连接度数小的点。
  • 枚举每个点并将其相邻的点记录匹配点为当前点 iii。
  • 枚举当前点邻居的邻居，看匹配点是否是点 iii。

每个三元团只会被计算一次。

分析一下复杂度：

每个点的入度度数最大是 O(m)O(\sqrt m)O(m

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基站建设（三元环计数+根号分治 / bitset）
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无向图三元环计数 这个做法的思想还是很巧妙的，首先我们考虑枚举，暴力的方法就是枚举三个点O(n3)O(n^3)O(n3)，枚举一个点然后枚举出边，然后再枚举出点的出边，然后考虑这个做法的复杂度。对于每条边分析，它会对复杂度的贡献就是指向的点的度数，所以总复杂度就是∑i=1mdegpi\sum_{i=1}^mdeg_{p_i}∑i=1m​degpi​​,但是如果我们能够把无向图变为有向图就可以优化复杂度，如果这个有向图没有环，那么所有无向图中的环对应了有向图中的<u,v><u,w>&l
三元环计数（HDU 6104）
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三元环计数 这个三元环计数就是去计算图里面有多少个三元环。计算这个数目在有的题目里面有很重要的作用。看了一些博客后总结一下。有错误望指正 1. 三元环 三元环就是图中所示的样子 2.如何判断是三元环？ 三元环现实中我们一下就可以判断出来，但是竞赛中要怎么判断呢？？ 我们都知道一句话：敌人的敌人就是我们的朋友 ，对三元环的判断基本就是这样的。如果我们知道a b间连边，b c间连边，只要...
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__water
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三元环统计
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz
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待
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无向图 G 的三元环指的是一个 G 的一个子图 G 0 ​ ，满足 G 0 ​ 有且仅有三个点 u,v,w，有且仅有三条边 ⟨u,v⟩,⟨v,w⟩,⟨w,u⟩。两个三元环 G 1 ​ ，G 2 ​ 不同当且仅当存在一个点 u，满足 u∈G1 且 u∈ / G2。给定一个 n 个点 m 条边的简单无向图，求其三元环个数。 输入描述 每个测试点有且仅有一组测试数据。 输入的第一行是用一个空格隔开的两个整数，分别代表图的点数 n 和边数 m。 第 2 到第 (m+1) 行，每行两个用空格隔开的整数 u,v，代表有一条连接节点 u 和节点 v 的边。 输出描述 输出一行一个整数，代表该图的三元环个数。 样例输入 1 3 3 1 2 2 3 3 1 样例输出 1 1
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这个问题可以通过枚举三元组并检查它们是否构成三元环来解决。具体地，对于一个无向图 \( G \)，我们需要找到所有包含三个点 \( u, v, w \) 的子图，并且这些点之间有三条边 \( \langle u,v \rangle, \langle v,w \rangle, \langle w,u \rangle \)。 以下是实现该算法的 C++ 代码： ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <unordered_set> using namespace std; int main() { int n, m; cin >> n >> m; // 使用邻接表存储图 vector<vector<int>> adj(n + 1); // 点从1开始编号 unordered_set<long long> edges; // 存储边的集合，用于快速查找 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v; cin >> u >> v; adj[u].push_back(v); adj[v].push_back(u); // 将每条边编码为一个唯一的long long值 if (u > v) swap(u, v); edges.insert(((long long)u << 32) | v); // 编码边为唯一值 } int count = 0; // 枚举每个点作为三元环的一个点 for (int u = 1; u <= n; ++u) { // 对于点u的所有邻居v和w，检查是否存在边<v,w> for (size_t i = 0; i < adj[u].size(); ++i) { int v = adj[u][i]; for (size_t j = i + 1; j < adj[u].size(); ++j) { int w = adj[u][j]; // 检查边<v,w>是否存在 long long edge = ((long long)v << 32) | w; if (edges.find(edge) != edges.end()) { count++; } } } } // 每个三元环被计算了6次（因为有3!种排列方式），所以需要除以6 cout << count / 6 << endl; return 0; } ``` ### 解释 1. **输入读取与图构建**： - 我们使用邻接表 `adj` 来存储图。 - 同时，为了快速检查某条边是否存在，我们使用 `unordered_set` 存储所有边。 - 每条边通过将两个端点按大小顺序排序后编码为一个唯一的 `long long` 值，这样可以方便地进行查找。 2. **三元环计数**： - 对于图中的每个点 \( u \)，我们枚举它的所有邻居对 \( (v, w) \)。 - 如果存在边 \( \langle v, w \rangle \)，那么 \( u, v, w \) 构成一个三元环。 - 由于每个三元环会被计算多次（具体来说是 6 次，对应三元环中点的不同排列方式），因此最后的结果需要除以 6。 3. **时间复杂度**： - 枚举每个点 \( u \) 的邻居对的时间复杂度为 \( O(m^2 / n) \)，其中 \( m \) 是边数，\( n \) 是点数。 - 因此，总的时间复杂度为 \( O(m^{1.5}) \) 左右，适合处理中等规模的图。 4. **样例解释**： - 在样例中，输入的图是一个完整的三角形，因此只有一个三元环。 ###
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