浅谈AC自动机

浅谈AC自动机

建议学过 AC 自动机的人来看。

注意我们一开始直接建立串的时候是 $\mathtt{T}\mathtt{r}\mathtt{i}\mathtt{e}$ 图，之后建立 $\mathtt{f}\mathtt{a}\mathtt{i}\mathtt{l}$ 指针的时候才是真正的 $AC$ 自动机。

具体来说对于 $\mathtt{T}\mathtt{r}\mathtt{i}\mathtt{e}$ 上深度从小到大的一条链，对应的是一个曾经在某个或者多个串中出现过的子串。

如果说是一条从根到底的链那本质就是代表一个串，显然对于一条链之间的点，本质上深度小的是深度大的前缀串。

用处：

• 我们可以通过遍历 $\mathtt{T}\mathtt{r}\mathtt{i}\mathtt{e}$ 图来不重复地遍历每个字符串（不会有相交）。

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还有一个东西叫 $\mathtt{f}\mathtt{a}\mathtt{i}\mathtt{l}$ 树，这个东西的定义和 $\mathtt{n}\mathtt{x}\mathtt{t}$ 数组很类似，就是与当前串公共后缀最长的点。

那么我们一直沿着 $\mathtt{f}\mathtt{a}\mathtt{i}\mathtt{l}$ 树跳的话是可以遍历到所有与当前串后缀部分有交的串，而且是交是从大到小的。

注意：

• 我们进行找 $\mathtt{f}\mathtt{a}\mathtt{i}\mathtt{l}$ 指针的时候需要使用路径压缩，但是即使使用了路径压缩，我们直接建立 $\mathtt{f}\mathtt{a}\mathtt{i}\mathtt{l}$ 树的时候完全不会有影响。

• 如果说拿节点 $1$ 当做超级源点的话，对于周围一圈的不存在的点，需要路径压缩至点 $1$。

用处：

• 发现对于一个节点 $x$，在 $\mathtt{f}\mathtt{a}\mathtt{i}\mathtt{l}$ 树上的子树中的所有节点都是后缀包含其的节点。可以通过打标记，进行子树求和来得到该节点（字符串）出现的次数。

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简单例题

[NOI2011] 阿狸的打字机

容易看出题目给的输入，就是建立 $\mathtt{T}\mathtt{r}\mathtt{i}\mathtt{e}$ 的方式。我们建立 $\mathtt{f}\mathtt{a}\mathtt{i}\mathtt{l}$ 树。

之后考虑 $(x,y)$ 我们可以通过枚举 $y$ 中的每一个点，判断其 $\mathtt{f}\mathtt{a}\mathtt{i}\mathtt{l}$ 树上的祖先是否有 $x$ 的终止节点。

那么我们可以考虑遍历完所有的 $y$ 节点的时候，在 $\mathtt{f}\mathtt{a}\mathtt{i}\mathtt{l}$ 树上的 $x$ 处，统计子树和。

发现因为我们遍历子串是通过 $\mathtt{T}\mathtt{r}\mathtt{i}\mathtt{e}$ 的，所以不同的字符串可以一起做，直接离线即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

namespace Legendgod {