平面图转对偶图的应用

平面图转对偶图

[BeiJing2006]狼抓兔子

这个是经典题，显然就是求一个最小割。然后网络流建立无向图即可。

但是如果数据范围没有那么小呢？

众所周知网络流的复杂度其实挺玄学的，而且这又是一张平面图，不妨将其转化为对偶图。

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定义：

平面图：任意两条边不相交的图。

面的次数：边界的长度，用 $deg(R_i)$ 表示。

阶：几阶就是几个点。

对偶图：本质上就是从平面图的面相互连边。

性质：

1：平面图的面数量等于对偶图点数量，对偶图面数量等于平面图点数量。

2：对偶图一个面的度数是围绕其一周走的边数。

显然这张图中间这个面由 $7$ 条边围成，所以其度数是 $7$。

极大平面图：如果 $G$ 是简单平面图，而且任意两个点之间加一条新编所得到的图为非平面图，则 $G$ 是极大平面图。

• 必定联通
• 任意阶数 $\ge 3$ 的极大平面图中不可能存在割点和桥。

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其实后面还有很多定理，就稍微放一下，之后有能力了再补。

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两种图互相转换本质上就是讲两个面进行连边而已。

为了方便我们需要将整个网格图划分成两半分别属于 $S,T$。之后只需要跑 $S\to T$ 的最短路即可。

注意：

至于连边方面，如果是无向边那显然没事。如果是有向边考虑顺时针旋转 $90$ 度，这个是以右上角为 $S$ 的情况。

对于一个面我们不妨钦定一个表示法，对于普通的网格图可以使用左上角。

但是像这种图，我们不妨考虑是最上角点的编号 $\times 2$，然后根据最后一位是否为 $1$ 来区分一个 $4$ 联通块中的两个面。

本题的代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//#define Fread
//#define Getmod

#ifdef Fread
char buf[1 << 21], *iS, *iT;
#define gc() (iS == iT ? (iT = (iS = buf) + fread (buf, 1, 1 << 21, stdin), (iS == iT ? EOF : *iS ++)) : *iS ++)
#define getchar gc
#endif // Fread

template <typename T>
void r1(T &x) {
   
   
	x = 0;
	char c(getchar());
	int f(1);
	for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
	for(; '0' <= c && c <= '9';c = getchar()) x = (x * 10) + (c ^ 48);
	x *= f;
}

template <typename T,typename... Args> inline void r1(T& t, Args&... args) {
   
   
    r1(t);  r1(args...);
}

//#define int long long
const int maxn = 2e6 + 5;
const int maxm = 1e3 + 5;

int head[maxn], cnt;
struct Edge