（二）数字信号处理中卷积与相关的联系

卷积与相关在数字信号处理中是紧密关联的核心概念，常被放在一起讨论，因为它们的数学形式高度相似，且在应用场景上相互支撑。以下从数学关系、物理意义、应用关联三个维度解析二者的联系：

一、数学形式：“翻转 + 移位” 的孪生运算

• 卷积的数学定义：若有两个序列 x(n) 和 h(n) ，其卷积为
  $$y(n)=x(n)\ast h(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)\cdot h(n-k)$$
  核心操作是将其中一个序列翻转（ ），再移位（ ），最后与另一序列逐点相乘求和。
• 相关的数学定义：若有两个序列 x(n) 和 y(n) ，其互相关为
  $$r_{xy}(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)\cdot y(n+k)$$

核心操作是将其中一个序列移位（ ），直接与另一序列逐点相乘求和（无翻转）。

• 关系：若将其中一个序列取共轭并翻转，相关可转化为卷积。对于实序列，互相关可表示为 $$r_{xy}(n)=x(n)\ast y(-n)$$；自相关（x(n)与自身的相关）则为 $$r_{xx}(n)=x(n)\ast x(-n)$$

二、物理意义：“系统响应” 与 “相似性度量” 的互补

• 卷积的物理意义：描述线性时不变系统（LTI）的输出。若 $$x(n)$$ 是输入信号，$$h(n)$$ 是系统的单位脉冲响应，卷积 $$x(n)\ast h(n)$$ 就是系统对输入的响应。
• 相关的物理意义：度量两个信号的相似性。互相关 $$r_{xy}(n)$$ 的峰值位置表示两个信号最相似的移位，常用于信号同步、目标检测（如雷达回波匹配）；自相关则用于分析信号的周期性、平稳性。

三、应用场景：相互支撑的信号处理工具

01.卷积的应用：耳机主动降噪

场景背景

在地铁、公交等嘈杂环境中，耳机需要过滤环境噪声（如轨道摩擦声、人群喧哗声），让你清晰听到音乐 —— 这一过程靠卷积实现。

案例对应原理

• 输入信号：耳机麦克风采集的 “音乐信号 + 环境噪声信号” 混合信号（对应公式中的 x(n) ）；
• 系统响应（卷积核）：工程师设计的 “低通滤波器单位脉冲响应”（对应公式中的 h(n) ），该滤波器仅允许低频的音乐信号通过，阻挡高频的噪声信号；
• 卷积运算过程：低通滤波器（ h(n) ）在混合信号（ x(n) ）上滑动，每滑动一次，就将 “混合信号的当前数值” 与 “滤波器的权重” 相乘求和 —— 高频噪声因权重为 0 被过滤，低频音乐信号被保留；
• 最终结果：输出仅含清晰音乐的信号，实现主动降噪。
• 用Python实现这个过程模拟：《Python 实现耳机主动降噪卷积过程》

一、实验参数设定（贴近实际物理场景）

为模拟真实耳机降噪场景，设定以下参数（物理单位符合实际电子设备特性）：

• 时间范围：0~1 秒（单次音乐片段时长），采样频率 44100Hz（音频标准采样率）
• 音乐信号：1kHz 正弦波（人耳敏感频率，电压幅值 0.5V，模拟耳机播放的音乐）
• 噪声信号：白噪声（模拟地铁环境噪声，电压幅值 0.2V，功率谱密度均匀）
• 卷积核（低通滤波器）：截止频率 1.2kHz（仅保留 1kHz 音乐，过滤高频噪声），阶数 100（保证滤波效果）

二、完整 Python 代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import firwin, lfilter

# ---------------------- 1. 配置中文字体（解决中文显示问题）----------------------
plt.rcParams["font.family"] = ["SimHei", "WenQuanYi Micro Hei", "Heiti TC"]
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False  # 解决负号显示异常

# ---------------------- 2. 设定实验参数（贴近实际物理单位）----------------------
t_duration = 1.0  # 信号总时长，单位：秒
fs = 44100  # 采样频率，单位：Hz（音频标准采样率）
t = np.linspace(0, t_duration, int(fs * t_duration), endpoint=False)  # 时间轴，单位：秒

# 音乐信号（1kHz正弦波，模拟耳机播放音乐）
music_freq = 1000  # 音乐信号频率，单位：Hz
music_amplitude = 0.5  # 音乐信号电压幅值，单位：V
music_signal = music_amplitude * np.sin(2 * np.pi * music_freq * t)

# 噪声信号（白噪声，模拟地铁环境噪声）
noise_amplitude = 0.2  # 噪声信号电压幅值，单位：V
np.random.seed(42)  # 固定随机种子，保证结果可复现
noise_signal = noise_amplitude * np.random.normal(0, 1, len(t))  # 均值0、标准差1的白噪声

# 混合信号（音乐+噪声，模拟麦克风采集的原始信号）
mixed_signal = music_signal + noise_signal

# ---------------------- 3. 设计低通滤波器（卷积核，实现降噪）----------------------
filter_cutoff = 1200  # 滤波器截止频率，单位：Hz（仅保留1kHz音乐）
filter_order = 100  # 滤波器阶数（阶数越高，滤波效果越好）
# 用FIR窗函数法设计低通滤波器（卷积核h(n)）
h = firwin(filter_order, filter_cutoff, fs=fs, pass_zero='lowpass', window='hamming')

# ---------------------- 4. 卷积运算（模拟耳机降噪过程）----------------------
# 方法1：直接用numpy.convolve实现卷积（原理直观）
# denoised_signal = np.convolve(mixed_signal, h, mode='same')  # mode='same'保证输出与输入长度一致
# 方法2：用lfilter实现（更贴近实际信号处理中的滤波操作，效率更高）
denoised_signal = lfilter(h, 1.0, mixed_signal)

# ---------------------- 5. 绘制各阶段信号形态图----------------------
plt.figure(figsize=(15, 12))

# 子图1：音乐信号（正弦波）
plt.subplot(4, 1, 1)
plt.plot(t[:int(fs*0.01)], music_signal[:int(fs*0.01)], color='#2E86AB', linewidth=1.2)  # 显示前0.01秒（避免波形重叠）
plt.xlabel('时间（秒）', fontsize=11)
plt.ylabel('电压（伏）', fontsize=11)
plt.title('1. 音乐信号（1kHz正弦波）', fontsize=13, pad=10)
plt.ylim(-music_amplitude*1.2, music_amplitude*1.2)  # 限定y轴范围，突出信号形态
plt.grid(alpha=0.3)

# 子图2：噪声信号（白噪声）
plt.subplot(4, 1, 2)
plt.plot(t[:int(fs*0.01)], noise_signal[:int(fs*0.01)], color='#A23B72', linewidth=1.2)
plt.xlabel('时间（秒）', fontsize=11)
plt.ylabel('电压（伏）', fontsize=11)
plt.title('2. 噪声信号（地铁环境白噪声）', fontsize=13, pad=10)
plt.ylim(-noise_amplitude*3, noise_amplitude*3)  # 覆盖99.7%的噪声幅值
plt.grid(alpha=0.3)

# 子图3：混合信号（音乐+噪声）
plt.subplot(4, 1, 3)
plt.plot(t[:int(fs*0.01)], mixed_signal[:int(fs*0.01)], color='#F18F01', linewidth=1.2)
plt.xlabel('时间（秒）', fontsize=11)
plt.ylabel('电压（伏）', fontsize=11)
plt.title('3. 混合信号（麦克风采集的音乐+噪声）', fontsize=13, pad=10)
plt.ylim(-(music_amplitude+noise_amplitude)*1.2, (music_amplitude+noise_amplitude)*1.2)
plt.grid(alpha=0.3)

# 子图4：卷积后信号（降噪后的音乐）
plt.subplot(4, 1, 4)
plt.plot(t[:int(fs*0.01)], denoised_signal[:int(fs*0.01)], color='#C73E1D', linewidth=1.2)
plt.xlabel('时间（秒）', fontsize=11)
plt.ylabel('电压（伏）', fontsize=11)
plt.title('4. 卷积后信号（降噪后的清晰音乐）', fontsize=13, pad=10)
plt.ylim(-music_amplitude*1.2, music_amplitude*1.2)
plt.grid(alpha=0.3)

plt.tight_layout(pad=2.0)  # 调整子图间距，避免标题重叠
plt.show()

# ---------------------- 6. 输出关键参数（验证降噪效果）----------------------
print("="*60)
print("耳机主动降噪卷积实验关键参数与结果")
print("="*60)
print(f"1. 信号参数：时长={t_duration}秒，采样频率={fs}Hz")
print(f"2. 音乐信号：频率={music_freq}Hz，电压幅值={music_amplitude}V")
print(f"3. 噪声信号：电压幅值={noise_amplitude}V（白噪声）")
print(f"4. 滤波器（卷积核）：截止频率={filter_cutoff}Hz，阶数={filter_order}")
print(f"5. 降噪效果：混合信号标准差={np.std(mixed_signal):.4f}V → 降噪后标准差={np.std(denoised_signal):.4f}V")
print("="*60)

三、代码关键说明（贴近实际场景）

1. 信号参数合理性：

• 音乐信号用 1kHz 正弦波（人耳对 1~3kHz 频率最敏感，符合耳机播放的音乐特性），电压 0.5V（常见耳机输出电压范围）；
• 噪声信号用 0.2V 白噪声（模拟地铁环境噪声强度，低于音乐信号，避免完全掩盖音乐）。

1. 卷积核设计：

• 用firwin设计 100 阶低通滤波器（卷积核h(n)），截止频率 1.2kHz—— 既保留 1kHz 音乐信号，又过滤高于 1.2kHz 的高频噪声（如地铁轨道摩擦声多为 2kHz 以上高频）。

1. 可视化细节：

• 所有子图仅显示前 0.01 秒信号（约 441 个采样点），避免因时长 1 秒导致波形重叠，更清晰展示信号形态；
• 纵轴统一用 “电压（伏）”，横轴用 “时间（秒）”，完全符合实际物理单位，直观反映信号特征。

1. 降噪效果验证：

• 输出 “混合信号标准差” 与 “降噪后标准差”—— 标准差越小，信号越平稳（噪声越少），可清晰看到降噪后标准差显著降低，验证卷积的降噪作用。

四、运行结果解读

• 运行结果
  

1. 音乐信号图：规则的正弦波，电压稳定在 ±0.5V，体现音乐信号的周期性；
2. 噪声信号图：无规则波动，电压集中在 ±0.6V（±3σ），符合白噪声的随机特性；
3. 混合信号图：正弦波被噪声干扰，波形起伏变大，模拟麦克风采集的原始信号；
4. 卷积后信号图：波形回归规则正弦波，噪声大幅减少，与原始音乐信号形态接近，实现主动降噪。
   若需调整场景（如模拟更高强度噪声、不同频率音乐），可修改noise_amplitude（噪声幅值）或music_freq（音乐频率）参数，观察卷积效果的变化。

02.相关的实际应用：手机指纹解锁

场景背景

你用手机解锁时，手指按压指纹传感器，手机能快速识别 “当前指纹” 与 “预先录入的指纹” 是否匹配 —— 这个匹配过程，核心就是通过互相关运算实现的。

案例对应原理

• 信号 1：预先录入的 “基准指纹信号”（将指纹纹理转化为明暗变化的数字序列，比如凸起纹理为 1，凹陷为 0）；

• 信号 2：解锁时采集的 “实时指纹信号”（同一方式转化的数字序列，可能因按压角度略有偏移）；

• 相关操作：计算两个指纹信号的互相关 —— 将实时信号逐位移位，与基准信号逐点对比（相乘求和），找到互相关值最大的位置。

• 最终结果：
  当互相关值达到预设阈值（说明两个信号高度相似），手机判定 “指纹匹配” 并解锁；若相关值过低（信号差异大），则拒绝解锁。这就是相关 “度量信号相似性” 在日常设备中的典型应用。

总结

卷积与相关因数学形式的相似性、物理意义的互补性、应用场景的联动性，成为数字信号处理中 “孪生概念”。理解二者的联系，能更高效地掌握信号的 “系统响应建模” 与 “相似性分析”，是学习 DSP（数字信号处理）的关键基石。