数据结构与算法(Python版) | (8) 递归(上)

本专栏主要基于北大的数据结构与算法教程(Python版)进行整理，包括课程笔记和OJ作业。

课程链接

1. 什么是递归

定义

• 递归是一种解决问题的方法，其精髓在于：
  1）将问题分解为规模更小的相同问题，
  2） 持续分解，直到问题规模小到可以用非常简单直接的方式来解决。
  3） 递归的问题分解方式非常独特，其算法方面的明显特征就是:在算法流程中调用自身。
• 递归为我们提供了一种对复杂问题的优雅解决方案，精妙的递归算法常会出奇简单 ，令人赞叹。

初识递归:数列求和

• 问题:给定一个列表，返回所有数的和：
  列表中数的个数不定，需要一个循环和一个累加 变量来迭代求和。
• 程序很简单，但假如没有循环语句?
  既不能用for，也不能用while。 还能对不确定长度的列表求和么?

def listsum(numList):
	theSum = 0
	for i in numList:
		theSum = theSum + i
	return theSum

• 我们认识到求和实际上最终是由一次次的加法实现的，而加法恰有2个操作数，这个是确定的。
• 看看怎么想办法，将问题规模较大的列表求和，分解为规模较小而且固定的2个数求和(加法)?
  同样是求和问题，但规模发生了变化，符合递归解决问题的特征!
• 换个方式来表达数列求和:全括号表达式 (1+(3+(5+(7+9))))
• 上面这个式子，最内层的括号(7+9)，这 是无需循环即可计算的，实际上整个求和 的过程是这样(每次只计算两个数的和):
  
• 观察上述过程中所包含的重复模式，可以把求和问题归纳成这样:
  数列的和=“首个数”+“余下数列”的和
• 如果数列包含的数少到只有1个的话，它的和就是这个数了
  这是规模小到可以做最简单的处理
  
• 上面的递归算法变成程序

def listsum(numList):
	if len(numList) == 1:  #最小规模
		return numList[0]
	else:
		return numList[0] + listSum(numList[1:]) #分解问题 减小规模（列表切片）； 调用自身。

• 要点
  1）问题分解为更小规模的相同问题，并表现为 “调用自身”
  2）对“最小规模”问题的解决:简单直接

递归程序如何被执行?

• 递归函数调用和返回过程的链条
  

递归“三定律”

• 为了向阿西莫夫的“机器人三定律”致敬 ，递归算法也总结出“三定律”
  1）递归算法必须有一个基本结束条件(最小规 模问题的直接解决)
  2）递归算法必须能改变状态向基本结束条件演 进(减小问题规模)
  3）递归算法必须调用自身(解决减小了规模的相同问题)

• 数列求和问题首先具备了基本结束条件: 当列表长度为1的时候，直接输出所包含的唯一数

• 数列求和处理的数据对象是一个列表，而基本结束条件是长度为1的列表，那递归算法就要改变列表并向长度为1的状态演进。
  我们看到其具体做法是将列表长度减少1。

• 调用自身是递归算法中最难理解的部分，实际上我们理解为“问题分解成了规模更小的相同问题”就可以了。
  在数列求和算法中就是“更短数列的求和问题”

2. 递归的应用:任意进制转换

整数转换为任意进制

• 这个在数据结构栈里讨论过的算法，又回来了!
  递归和栈，一定有关联

• 如果上次你被“入栈”“出栈”搞得挺晕乎的话，这次递归算法一定会让你感到清新
  而且这次我们要解决从二进制到十六进制的任意进制转换

• 我们用最熟悉的十进制分析下这个问题
  1）十进制有十个不同符号:convString = “0123456789”
  2）比十小的整数，转换成十进制，直接查表就可以 了:convString[n]
  3） 想办法把比十大的整数，拆成一系列比十小的整数，逐个查表：比如七百六十九，拆成七、六、九，查表得到 769就可以了。

• 所以，在递归三定律里，我们找到了“基 本结束条件”，就是小于十的整数
  拆解整数的过程就是向“基本结束条件”演进的 过程

• 我们用整数除，和求余数两个计算来将整数一步步拆开：
  1）除以“进制基base”(// base)
  2）对“进制基”求余数(% base)

• 问题就分解为:
  1）余数总小于“进制基base”，是“基本结束条件 ”，可直接进行查表转换
  2）整数商成为“更小规模”的相同问题，通过递归调用自身解决。
  

• 代码

def toStr(n,base):
convertString = "0123456789ABCDEF"
	if n<base:
		return covertString[n] #最小规模
	else:
		return toStr(n//base,base) + covertString[n%base] #减小规模，调用自身

3. 递归调用的实现

递归调用实现

• 当一个函数被调用的时候，系统会把调用时的现场数据压入到系统调用栈；每次调用，压入栈的现场数据称为栈帧；当函数返回时，要从调用栈的栈顶取得返回地址
  ，恢复现场，弹出栈帧，按地址返回（后进先出）。
  

Python中的递归深度限制

• 在调试递归算法程序的时候经常会碰到这样的错误:RecursionError
  递归的层数太多，系统调用栈容量有限
  
• 这时候要检查程序中是否忘记设置基本结 束条件，导致无限递归
  或者向基本结束条件演进太慢，导致递归层数太多，调用栈溢出。

def tell_story():
	print("从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，他在讲：")
	tell_story()
print("给你讲个故事")
tell_story()

• 在Python内置的sys模块可以获取和调整最大递归深度
  

递归的故事

4. 递归可视化:分形树

递归可视化:图示

• 前面的种种递归算法展现了其简单而强大 的一面，但还是难有个直观的概念
• 下面我们通过递归作图来展现递归调用的 视觉影像
• Python的海龟作图系统turtle module
  1）Python内置，随时可用，以LOGO语言的创意为 基础
  2）其意象为模拟海龟在沙滩上爬行而留下的足迹：
  爬行:forward(n); backward(n)
  转向:left(a); right(a)
  抬笔放笔:penup(); pendown()
  笔属性:pensize(s); pencolor©
• 示例代码

import turtle
t = turtle.Turtle()

#开始做图
t.forward(100) #前行100 （默认向右）
turtle.done() #作图结束

import turtle

t = turtle.Turtle()

for i in range(4):
	t.forward(100) #当前方向前进100
	t.right(90) #右转90度
turtle.done()

import turtle

t = turtle.Turtle()

t.pencolor('red')
t.pensize(3) 

for i in range(5):
	t.forward(100) #当前方向前进100
	t.right(144) #右转144度
t.hideturtle()
turtle.done()

一个递归作图的例子:螺旋

import turtle
t = turtle.Turtle()

def drawSpiral(t,linelen):
	if linelen > 0: #最小规模，0直接退出
		t.forward(linelen)
		t.right(90)
		drawSpiral(t