这篇博客探讨了群论中的几个关键性质。首先，证明了如果H1和H2是群G的正规子群，那么它们的乘积H1H2也是正规子群。接着，展示了群同态与阿贝尔群之间的关系，证明了一个群同态当且仅当其对应的群是阿贝尔群。最后，论证了在群G中，指标为2的子群H一定是正规子群，并且讨论了循环群的商群性质，指出商群G/H在循环群情况下同样是循环群。
CINTA作业7
3. 如果H1 和H2 是群G的正规子群，证明H1H2 也是群G的正规子群
证明：
因为H1 和H2 是群G的正规子群，所以对任意g∈G，有
gH1g−1=H1,gH2g−1=H2，即gH1g−1gH2g−1=gH1H2g−1=H1H2
gH_{1}g^{-1}=H_1,gH_2g^{-1}=H_2，即gH_{1}g^{-1}gH_2g^{-1}=gH_{1}H_2g^{-1}=H_1H_2
gH1g−1=H1,gH2g−1=H2，即gH1g−1gH2g−1=gH1H2g−1=H1H2
得gH1H2g−1=H1H2
得gH_{1}H_2g^{-1}=H_1H_2
得gH1H2g−1=H1H2
两边同时乘g得
gH1H2=H1H2g
gH_1H_2=H_1H_2g
gH1H2=H1H2g
又因为H1 和H2 是群G的子群，所以H1H2也是G的子群，故H1H2 是群G的正规子群。
5. 定义映射ϕ : G→G为：g →g^2。请证明 ϕ 是一种群同态当且仅当G 是阿贝尔群
证明充分性：
因为 ϕ 是一种群同态，所以对任意的a,b∈G:
ϕ(a⋅b)=ϕ(a)∘ϕ(b)(ab)2=a2b2ab⋅ab=a⋅ab⋅b
\begin{aligned}
\phi(a\cdot b)&=\phi(a)\circ\phi(b)\\(ab)^2&=a^2b^2\\
ab\cdot ab&=a\cdot ab\cdot b
\end{aligned}
ϕ(a⋅b)(ab)2ab⋅ab=ϕ(a)∘ϕ(b)=a2b2=a⋅ab⋅b
由消去律得：
b⋅a=a⋅b
\begin{aligned}
b\cdot a=a\cdot b
\end{aligned}
b⋅a=a⋅b
所以G 是阿贝尔群
证明必要性：
因为G是阿贝尔群，则对任意的a,b∈G:
ϕ(a⋅b)=(a⋅b)2=ab⋅ab=aa⋅bb=a2⋅b2=ϕ(a)∘ϕ(b)
\phi(a\cdot b)=(a\cdot b)^2=ab\cdot ab=aa\cdot bb=a^2\cdot b^2=\phi(a)\circ \phi(b)
ϕ(a⋅b)=(a⋅b)2=ab⋅ab=aa⋅bb=a2⋅b2=ϕ(a)∘ϕ(b)
所以ϕ 是一种群同态
7. 证明：如果H是群G上指标为2 的子群，则H是G的正规子群
证明：
因为[G:H]=2，所以G被分为2个划分H、H’。对任意g∈G，有g∈H或g∈H‘。
若g∈H：gH=H=Hg
若g∈H’：gH=H’=Hg
所以H是G的正规子群
9.证明：如果群G是循环群，则商群G/H也是循环群
证明：
对于循环群G的任意生成元g，因为群H是群G的正规子群，有：
(gH)n=gnHn=gnH⊂G
(gH)^n=g^nH^n=g^nH\subset G
(gH)n=gnHn=gnH⊂G
其中gn可以是G中的任意元素，故gnH可以是任何划分群G的左陪集，故gnH生成G/H中所以元素。
所以商群G/H是循环群，生成元是gH。
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