向量与矩阵：内积、范数、正交与对角化-优快云博客

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两个向量的乘积之和称为内积

向量 $\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$ 与 $\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 8 \end{pmatrix}$ 的内积

1*0+2*0+3*8=24

内积是一个数

$\alpha =\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{pmatrix}$ , $\beta =\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix}$

当且仅当 $\alpha$ 为0向量的时候， $\alpha .\alpha$ =0

$(\alpha\beta)=(\beta \alpha)$

$(k\alpha\beta)=k(\beta \alpha)$

$(k\alpha k\beta)=k^{2}(\beta \alpha)$

$(\alpha+\beta ,\gamma )= (\alpha ,\gamma )+(\beta ,\gamma )$

向量的长度(范数，模)

$\left \| \alpha \right \|=\sqrt{(\alpha ,\alpha )}$

$\left \| \alpha \right \|=1$ 向量的模为1叫作单位向量

什么是线性相关，什么是线性无关？

$\alpha_{1} =5\alpha _{2}$ 两个向量是成倍的关系表示线性相关，即方向相同或相反，则线性相关

如果 $\alpha _{1}$ 与 $\alpha _{2}$ 两个向量间有夹角，没有成倍关系，则是线性无关的。即方向不同。

施密特正交化

给一组线性无关的 $\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\alpha _{4}.......\alpha _{s}$ ,求与之等价的正交的 $\beta _{1}\beta _{2}\beta _{3}\beta _{4}.......\beta _{s}$ 。

$\beta _{1}=\alpha _{1}$

$\beta _{2}=\alpha _{2}-\frac{(\alpha _{2},\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})}\beta _{1}$

$\beta _{3}=\alpha _{3}-\frac{(\alpha _{3},\beta _{1)}}{(\beta _{1},\beta _{1})}\beta _{1}-\frac{(\alpha _{3},\beta _{2)}}{(\beta _{2},\beta _{2})}\beta _{2}$

$\beta _{4}=\alpha _{4}-\frac{(\alpha _{4},\beta _{1)}}{(\beta _{1},\beta _{1})}\beta _{1}-\frac{(\alpha _{4},\beta _{2)}}{(\beta _{2},\beta _{2})}\beta _{2}-\frac{(\alpha _{4},\beta _{3)}}{(\beta _{3},\beta _{3})}\beta _{3}$