线性代数之矩阵的秩(2)

Richard888888888

已于 2022-01-21 10:59:33 修改

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文章标签：线性代数矩阵机器学习

于 2022-01-18 17:06:55 首次发布

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$\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 2&3 &4 &5 \\ 6& 1 & 4 &9 \end{pmatrix}$

取K行取K列勾成的行列式就叫K阶子式

取第一行第二行，第三列第四列得二阶子式

~~1 1 1 1~~

~~2 3 4 5~~

6 1 ~~4 9~~

$\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 4& 5 \end{pmatrix}$

任取一行一列获得一阶子式

但你发现当取三行三列的时候，行列式的值为0

比如: $\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 3& 4 &5 \\ 1& 4 &9 \end{bmatrix}$ 其值为1*4*9+1*5*1+1*3*4-1*4*1-1*3*9-1*5*4=36+5+12-4-29-20=0

所以其非零子式的最高阶数为2阶，也叫秩。

0矩阵的秩等于0

r(0)=0

矩阵 $A_{M*N}$ 的秩 r(A)一定是 0 $\leq$ r(A) $\leq$ min(M,N)(取m行，n列中较小的值)

如果r(A)=M，则为行满秩。

如果r(A)=N，则为列满秩。

统称为满秩

如果 r(A)<MIN(M,N),则为降秩

A是方阵，A如果是满秩，则A可逆，则 $\left | A \right |$ 的行列式不等于0。

r(A)=r $\Leftrightarrow$ 有一个r阶子式不为0，而所有的r+1子式都为0。

如果某一阶的子式等于0，则它的高阶子式肯定都等于0。

例：

$A_{6*8}$ =3 如果6行8列的矩阵的秩是3，则第四阶第五阶，第六阶肯定都为0，不存在四阶子式是0，而五阶或六阶子式不为0的情况。

阶梯型矩阵

若有零行，则零行在非零行的下边。

比如 $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &4 \\ 0& 0 &4 &4 \\ 0&0 &0 &0 \\ 0&0 &0 &0 \end{bmatrix}$

左起的第一个非零元素的左边零的个数随行数增加而严格增加

$\begin{bmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 0&1 & 0 &5 \\ 0& 0 &0 &3 \end{bmatrix}$

第一行0个数为0

第二行0个数为1

第三行0个数为3，随着行数增加而增加，满足条件，所以是阶梯型矩阵

行简化阶梯型

首非零元素为1，

首非零元素所在的列的其余元素为0

如： $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &4 \\ 0 &1 &0 & 5\\ 0 &0 &1 &4 \\ 0& 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

那么秩和阶梯型有什么用呢?

$\begin{bmatrix} 0 &1 &1 &1 &1 \\ 0&0 &0 &4 &5 \\ 0&0 &0 &0 &1 \\ 0&0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$

1.找出首非零元素，以这三行做一个三阶子式

$\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ 0&4 &5 \\ 0& 0 &1 \end{vmatrix}$ $\neq$ 0

矩阵的秩等于非0行的行数。

初等变换不改变矩阵的秩。

如果遇到不是阶梯型，可以通过初等变换，化成阶梯型。非零行有几行，它的秩就是几。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 &2 & 1 &0 \\ 2&-2 &4 & -2&0 \\ 3& 0 & 6 & -1 &1 \\ 0 & 3 & 0 &0 & 1 \end{bmatrix}$

将上面矩阵第一行*-2加到第二行，然后第一行*-3加到第三行，得

$\begin{bmatrix} 1 &-1 &2 &1 &0 \\ 0& 0 & 0 & -4 &0 \\ 0& 3 & 0 &-4 &1 \\ 0& 3 & 0 &0 &1 \end{bmatrix}$

然后第三行*-1加到第四行，接着第二行*1加到第四行，最后第二行和第三行交换得

$\begin{bmatrix} 1 &-1 &2 &1 &0 \\ 0&3 &0 & -4 & 1\\ 0 & 0 &0 &-4 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}$

即得非零行有三行，即它的秩为r(A)=3

性质一:A的秩和A转置的秩相等

r(A)=r( $A^{T}$ )

性质二：任意矩阵乘以可逆矩阵，秩不变

Am*n 矩阵，P是M的可逆方阵，Q是N的可逆方阵。

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

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