线性代数从零开始详解笔记【线性方程组】

线性方程组

0.引言

1. 在面对一个具体的问题时，一般而言我们会首先关注这个问题“有没有答案”——这就是所谓 「解的存在性」。
2. 如果所研究的问题是有答案的，进一步地我们会关心这个问题的“答案是不是只有一个”——这 就是所谓 「解的唯一性」。
3. 如果我们对上述两个问题的回答是：答案唯一地存在，那么接下来我们想要知道是否能有统一的 方法来找到这个解；如果我们的回答是：答案存在但是不唯一，我们就要问：能否把每一个答案 全部找到？并且能否说清楚这个问题不同答案之间的相互关系——换言之，我们想要研究线性方程组 「解的结构」。

1. 解

正如引言所说的，我们研究是：解的存在性，解的唯一性，解的结构，这三者是解的核心。

• 系数矩阵$A$：只有系数组成
• 增广系数矩阵$\bar{A}$（带等号右边的常数）。

1.1 解和矩阵秩的关系

• 唯一解：$r(A)=r(\bar{A})=未知数个数$（有解）
• 无穷解：$r(A)=r(\bar{A})<未知数个数$（有解）
• 无解：$r(A)\ne r(\bar{A})$

解题怎样判断秩是否相等？
第一步：写出$\bar{A}$
第二步：只做初等行变换，把增广系数矩阵化成阶梯型，看非零行行数是否相同

接下来，我们除了能够判断解的情况，还能写出结果。

假如我们的增广系数矩阵化成：$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& 4& 5\\ 0& 1& 1& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$，秩相同，所以有解，有四个未知量，所以有无穷解。

写出一般解：
$\{\begin{array}{l}{x}_1=5-3x_3-4x_4\\ x_2=2-x_3-x_4\end{array}$

我们管$x_2,x_3,x_4$叫做自由未知量

像这种增广系数矩阵就是无解：

$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 4\end{array}\right]$

2. 齐次线性方程组

2.1 零解和非零解

齐次线性方程组就是常数项是0的方程组。比如：$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=0\\ x_1-5x_2=0\end{array}$

记住：齐次线性方程组一定有解，至少有0解

• 零解：所有未知量都取0。
• 非零解：解里面不全为0

至于一定有解也不难理解，当我们画出增广系数矩阵的时候，最右边都是0，增广系数矩阵和系数矩阵一样了。

所以，我们对于齐次方程组关心的焦点在于：是否有非零解。

也就是关注r(A)和未知数个数n的关系

这里需要注意的是，因为有唯一解的时候就只有零解了，唯一的零解。

（以后n都代表未知数个数）

要想有非零解，就必须满足：r(A)<n，|A|=0

要是和可逆的性质挂钩的话：

• 有非零解$\Leftarrow \Rightarrow$|A|=0$\Leftarrow \Rightarrow$r(A)<n$\Leftarrow \Rightarrow$A不可逆
• 有零解$\Leftarrow \Rightarrow |A|\ne 0$$\Leftarrow \Rightarrow$A可逆$\Leftarrow \Rightarrow$r(A)=n

例题：
已知向量组组成的齐次方程组：(1,3 0,5) (1,2,1,4) (1,1,2,3) (2,5,1,9) (1,-3,6,-1)

解：
设$x_1{a}_1+x_2{a}_2+x_3{a}_3+x_4{a}_4+x_5{a}_5=0$

2.2 基础解系

当我们面临着非零解是个无穷多解的情况的时候，我们需要一组解来代表所有的解。

和极大线性无关组类似。

如何求基础解系？
根据我们上面求一般解的方法，首先写出系数矩阵和增广系数矩阵，然后进行初等行变换，化成行简化阶梯型，写出一般解。

基础解系的向量数量：$s=n-r(A)$，我们也叫基础解系里面有 $s=n-r(A)$ 个向量。

当我们把基础解系视作一个矩阵的话：$B_{ns}$

例题1：（求基础解系）：
$\bar{A}=(..)\to [\begin{array}{ccc}1& 0& -\frac{9}{4}\\ 0& 1& \frac{3}{4}\\ 0& 0& \end{array}$