线性代数从零开始详解笔记【矩阵】

矩阵

0. 引言

为什么我们需要研究矩阵？
因为在计算机里面表达关系的一个标志：图，需要使用矩阵表示。

还有，行列式一定是方的，但是矩阵不一定，矩阵是个数表，行列式是个数。只有当矩阵是个方阵的时候，才会有行列式的属性。
|A| 表示 A的行列式的值。

0.1 本章思维导图

1. 矩阵运算

1.1 加减

必须是同型矩阵才能进行加减，时刻记住矩阵是个数表。

1.2 乘法

满足 $A_{mn}\ast B_{nv}=C_{mv}$
矩阵反人类特性：

• 一般情况下 $AB\ne BA$
• $AB=0\nRightarrow A=0或B=0$
• $AB=AC,A\ne 0\nRightarrow B=C$

为什么矩阵会有这些反人类特性？
因为本身矩阵是个数表，矩阵的乘法是数表的乘法，数表的乘法是非逐元素组合运算的综合体现，通俗的是乘法是两个矩阵的交叉融合操作。

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 0\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$，$C=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 4\end{array}\right]$

$$AB=0，AC=0$$

矩阵的除法是逆矩阵的内容，我们一般不叫矩阵除法。

1.3 数乘

矩阵的数乘是对整张表产生影响，和行列式的数乘意义是不一样的，行列式是个数，而矩阵是张表。

$k\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}k& 2k& 3k\\ 4k& 5k& 6k\\ 7k& 8k& 9k\end{array}\right]$

行列式：
$k^3|A|=|B|$
$|-A|=(-1{)}^5|A|=-A$(A是5阶方阵)

例题：
已知|A|=3，A是5阶矩阵，问$||A|A|$ ？

解：
$|3A|=3^5|A|=3^6$

1.4 转置

主要关注转置的 “拆”
满足对逐矩阵的操作，拆的时候，元素对称，不对应！！：
$(ABCD{)}^T=D^T{C}^T{B}^T{A}^T$

但是加减可以对应：
$(A+B+C{)}^T=A^T+B^T+C^T$

常见的转置运算：
（1）$(A^T{)}^T=A$
（2）$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
（3）$(kA{)}^T=k{A}^T$
（4）$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

1.5 幂运算（方阵才可）

幂运算是矩阵乘法的拓展，所以一定满足矩阵乘法的反人类特性。

注意下面的坑：

• $(AB{)}^k\ne A^k{B}^k$
• $ABAB\ne AABB$
• $(A+B{)}^2\ne A^2+2AB+B^2$
• 只有方阵才能进行幂运算！！

特别的：$A^0=E$

幂运算一定要满足元素顺序合法性！
比如$(A+B{)}^2=(A+B)(A+B)=AA+AB+BA+BB$

有一种情况，我们可以把矩阵当成常数，那就是单元素矩阵，假如矩阵乘法之后产生了单元素矩阵，那么我们可以利用单元素矩阵计算矩阵的高次幂运算。

例题：
$A=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]，B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$，写出$(AB{)}^{10}$ 的矩阵表达式

解：
已知$BA=(6)，AB=[\begin{array}{c}\\ 1\\ 1\end{array}$