14、矩阵相关知识详解

矩阵相关知识详解

1. 矩阵行列式

矩阵行列式是矩阵的一个重要属性。对于一个方阵 $A$，当且仅当 $\det(A) \neq 0$ 时，矩阵 $A$ 有逆矩阵。这一性质在处理矩阵问题时非常关键，因为我们通常关注具有唯一解或无解的矩阵系统。

• 二阶矩阵行列式 ：对于一般的二阶矩阵 $A = \begin{bmatrix}a & b \ c & d\end{bmatrix}$，其行列式为 $\det(A) = ad - bc$。若 $\det(A) = 0$（假设 $b, d \neq 0$），则有 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，这意味着第二行是第一行的倍数。
• 三阶矩阵行列式 ：对于三阶矩阵 $A = \begin{bmatrix}a & b & c \ d & e & f \ g & h & i\end{bmatrix}$，其行列式可以通过降阶为三个二阶行列式来计算，即 $\det(A) = a\begin{vmatrix}e & f \ h & i\end{vmatrix} - b\begin{vmatrix}d & f \ g & i\end{vmatrix} + c\begin{vmatrix}d & e \ g & h\end{vmatrix}$。在计算时，可以选择任意一行或一列进行展开，但需要根据符号规则乘以 $\pm 1$，符号规则矩阵为 $\begin{bmatrix}+ & - & + \ - & + &