43、数学技术引理与线性代数基础

数学技术引理与线性代数基础

1. 技术引理

在数学分析中，有一些重要的技术引理，它们在不同的证明和推导中发挥着关键作用。

1.1 引理A.1

设 (a > 0)，若 (x \geq 2a \log(a))，则 (x \geq a \log(x))。这意味着不等式 (x < a \log(x)) 成立的必要条件是 (x < 2a \log(a))。
证明过程：当 (a \in (0, \sqrt{e}]) 时，不等式 (x \geq a \log(x)) 恒成立。当 (a > \sqrt{e}) 时，考虑函数 (f(x) = x - a \log(x))，其导数 (f’(x) = 1 - \frac{a}{x})。当 (x > a) 时，导数为正，函数递增。通过计算 (f(2a \log(a))) 并结合 (a - 2\log(a) > 0) 完成证明。

1.2 引理A.2

设 (a \geq 1) 且 (b > 0)，若 (x \geq 4a \log(2a) + 2b)，则 (x \geq a \log(x) + b)。
证明思路：只需证明 (x \geq 4a \log(2a) + 2b) 能推出 (x \geq 2a \log(x)) 和 (x \geq 2b)。因为 (a \geq 1)，所以 (x \geq 2b)；又因为 (b > 0)，所以 (x \geq 4a \log(2a))，再结合引理A.1 可得 (x \geq 2a \log(x))。

1.3 引理A.3

设 (X) 是随机变量，(x’) 是实数，