24、线性代数与其他实用数学和计算机科学基础

线性代数与其他实用数学和计算机科学基础

1. 线性代数基础

1.1 向量空间

向量空间 (V) 是定义在域 (F) 上的一组对象（向量）的集合。若 (v, w \in V)，对于所有 (c, d \in F)，都有 (cv + dw \in V)，即 (V) 对加法和数乘封闭。线性子空间 (W) 是 (V) 的子集，且自身也是向量空间。

例如：
- (V = C^d) 是 (d) 维复向量空间，是由 (d) 个复数组成的列向量的集合。其中，前两个元素为 0 的向量集合 (W \subseteq V) 是 (V) 的子空间。
- (V = {0, 1}^d) 是 (d) 位向量的集合，按位模 2 加法构成线性空间，域为 (F_2 = {0, 1})。前两个元素相等的向量集合 (W \subseteq V) 是 (V) 的子空间。

一组向量 (v_1, \cdots, v_m \in V) 线性无关，当且仅当 (\sum_{i = 1}^{m} a_iv_i = 0) 时，必有 (a_1 = \cdots = a_m = 0)。向量集 (S = {v_1, \cdots, v_m} \subseteq V) 的张成空间 (span(S)) 是可以表示为 (\sum_{i = 1}^{d} a_iv_i)（系数 (a_1, \cdots, a_m \in F)）的向量集合。(V) 的基是一组线性无关的向量集 (S)，且 (span(S) = V)。所有基的大小相同，这个大小称为 (V) 的维数。

若固定有序基 (S = (v_1, \cdots, v_m))，则每个 (w \in V) 可以唯一地表示为 (\sum_{i