3、金融系统风险分析与非平稳系统状态空间识别算法

金融系统风险分析与非平稳系统状态空间识别算法

1. 金融系统风险分析

1.1 尾部依赖

尾部依赖关注的是随机变量 $u_1$ 和 $u_2$ 极端值的一致性和不一致性，聚焦于联合分布函数的上下象限尾部。对于两个随机变量 $u_1 \sim F_1$ 和 $u_2 \sim F_2$，其尾部依赖系数定义如下：
- 下尾部依赖系数：$\lambda_L \equiv \lim_{u \to 0^+} P[F_1(u_1) < u | F_2(u_2) < u] = \lim_{u \to 0^+} \frac{C(u, u)}{u}$
- 上尾部依赖系数：$\lambda_U \equiv \lim_{u \to 1^-} P[F_1(u_1) > u | F_2(u_2) > u] = \lim_{u \to 1^-} \frac{C(u, u)}{u}$

其中，当 $\lambda_L \neq 0$ 时，称 $C$ 具有下尾部依赖；当 $\lambda_U \neq 0$ 时，称 $C$ 具有上尾部依赖。不同族的尾部依赖系数如下表所示：
| 族 | 下尾部依赖 | 上尾部依赖 |
| ---- | ---- | ---- |
| Gaussian | – | – |
| Student’s t | $2t_{\nu + 1} \left( -\sqrt{\frac{(\nu + 1)(1 - \theta)}{1 + \theta}} \right)$ | $2t_{\nu + 1} \left( -\sqrt{\frac{(\nu + 1)(1 - \theta)}{1 + \theta}} \rig