13、匹配算法：从基础到加权的深入解析

匹配算法：从基础到加权的深入解析

1. 匹配相关基础概念与Tutte - Berge公式

在匹配问题的研究中，有不少关键的概念和公式。对于一个图，匹配的相关操作和性质是研究的重点。

1.1 花的次匹配实现

在花（blossom）的次匹配（hypomatching）实现过程中，有如下要点：
- 每次收缩一个奇数回路 $C$ 时，会创建一个新的（超级）节点 $c$，该节点有一个指针 blossom[supervertex[c]] 指向 $C$ 的顶点有序列表。
- 当遇到一条增广路径 $P$ 穿过对应超级节点 $b$ 的花 $B$ 时， blossom[supervertex[b]] 会得到一个奇数回路 $C$。设 $v$ 和 $w$ 分别是 $C$ 中与增广路径 $P$ 中的匹配边和非匹配边相邻的唯一顶点。若 $v = w$ 则完成操作；否则，$w$ 在 $C$ 中被匹配，$v$ 未被匹配。此时，$w$ 处的匹配边为 $C$ 提供了一个方向，沿着该方向移动 $C$ 中的匹配，直到 $v$ 被匹配。若 $v$ 是超级节点，则递归应用此过程。

在 CardinalityMatching.alg 的实现中，不会显式地进行移动直到遇到 $v$，而是在 $C$ 的除最后一条边外的所有边上交替使用非匹配边和匹配边，这与上述操作结果相同。

1.2 Tutte - Berge公式

Tutte - Berge公式给出了匹配问题中的一个重要对偶结果。当算法终止时，图中有外顶点、内顶点和未标记顶点。所有未匹配顶点都是外顶点，且它