12、图匹配中的增广路径与非二分图求解方法

图匹配中的增广路径与非二分图求解方法

1. 相关概念与练习

在图论中，有一些重要的概念和性质。对于一个二分图 (G)，存在以下关系：
- (|V_1| = |V_2|)；
- (G) 有完美匹配；
- (E) 是 (d) 个完美匹配的不相交并集。

练习 61

给定有向图 (D = (V, A))，我们按如下方式构造对应的二分图 (G)：设 (V’) 和 (V’‘) 是 (V) 的不相交副本，对于每条弧 ((u, v) \in A)，构造一条边连接 (V’) 中的顶点 (u’) 和 (V’‘) 中的顶点 (v’‘)，其中 (u’) 和 (v’‘) 分别是对应于 (u) 和 (v) 的顶点。则有：
- 二分图 (G) 中的匹配对应于有向图 (D) 中不相交的有向回路和有向路径的并集。
- 如果 (D) 是无环的（即 (D) 没有有向回路），那么二分图 (G) 中的最大匹配对应于有向图 (D) 中的最小路径覆盖。更精确地说，如果二分图 (G) 中最大匹配的基数为 (\nu)，那么有向图 (D) 中最小路径覆盖的大小为 (|V| - \nu)。
- 由此可以推导出迪尔沃思定理：有向无环图 (G) 中最小路径覆盖的大小等于反链（即任意两个顶点之间没有有向路径相连的顶点集）的最大基数。

练习 62

一个实值矩阵 (A = (a_{ij})) 如果所有元素都在区间 ([0, 1]) 内，并且所有列和行的和都为 1，则称其为双随机矩阵。如果一个双随机矩阵的所有元素要么是 0 要么是 1，则称其为置换矩阵。可以证明，任何双随机矩阵都是置换矩阵的凸组合。

2. 增广路径