20、集合论、概率论与密码算法系统知识解析

集合论、概率论与密码算法系统知识解析

1. 集合论基础

1.1 集合索引

集合索引借助笛卡尔积来表达，它拓展了集合的应用范围，能够生成向量和信号等新实体。例如，若 (A_i = {0, 1})，当索引集 (I = {0, \cdots, 7}) 时，({A_{i\in I}}) 构成有限离散序列，即向量；当 (I = Z)（整数集）时，({A_{i\in Z}}) 表示无限的 0 - 1 序列，也就是二进制数字信号；当 (I = R)（实数集）时，则可形成幅度离散但时间连续的信号。若 (A = R) 且 (I = R)，得到的集合代表模拟信号，即时间和幅度都连续的信号。

1.2 集合代数

构建集合代数或集合运算的域时，需遵循以下性质：
1. 若 (A \in F)，则 (\overline{A} \in F)，其中 (A) 是包含所需结果或要进行操作的集合。
2. 若 (A \in F) 且 (B \in F)，则 (A \cup B \in F)。

这些性质确保了集合代数在有限运算下的封闭性。全集 (\Omega) 始终属于该代数，因为 (\Omega = A \cup \overline{A})；空集 (\varnothing) 也属于该代数，因为由性质 1 可得 (\varnothing = \overline{\Omega})。例如，({\varnothing, \Omega}) 符合上述性质，代表一个代数；对于表示硬币正反面的集合 ({CH}) 和 ({CT})，若 ({CH} \in F)，则 (\overline{ {CH}} = {CT} \in F)，进而 ({CH, CT}