36、固态系统基础概念与半导体电子结构解析

固态系统基础概念与半导体电子结构解析

1. 固态系统基础概念

在固态系统中，当对波函数应用两个平移操作 (T_i) 和 (T_j) 时，操作顺序不影响结果，即 (T_i T_j = T_j T_i = T_{i + j})，这表明 (\alpha(T_i)) 为指数函数。每个平移算符可分解为对应三个向量 (a_1)、(a_2)、(a_3) 的三个基本平移 (T_1)、(T_2)、(T_3)，即 (T_i = T_1^{n_1} T_2^{n_2} T_3^{n_3})。通过显式的指数化，如 (T_1 = e^{2i\pi x_1}) 等，可得 (T_i = e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{T} i})，其中 (\mathbf{k} = x_1\mathbf{b}_1 + x_2\mathbf{b}_2 + x_3\mathbf{b}_3)。由此证明晶体中的电子本征态必须满足 (\psi(\mathbf{r} + \mathbf{T}_i) = e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{T}_i} \psi(\mathbf{r}))，这就是著名的布洛赫定理。电子波函数也可表示为 (\psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} U {n\mathbf{k}}(\mathbf{r})) 的形式，其中 (U_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})) 是具有晶格周期性的布洛赫函数。

布洛赫定理的一个重要推论是，由 (\mathbf{G} = p_1\mathbf{b}_1 + p_2\mathbf{b}_2 + p_3\mathbf{b}_3)（(p_1)、(p_2)、(p_3