4、光的量子理论：模式算子与量子态解读

光的量子理论：模式算子与量子态解读

1. 时间-bin模式算子

在量子通信中，时间-bin模式算子对于在有限时间间隔（即“时间-bin”）内创建和湮灭光子至关重要。我们可以从长度为 $L$ 的腔中的离散一维平面波算子 $\hat{a}_n$ 来构建时间-bin算子。

离散频率 $\omega_n = \frac{n\pi c}{L}$，对应的波数 $k_n = \frac{n\pi}{L}$。场算子用离散模式表示为：
[
\hat{A} = \frac{1}{\sqrt{N + 1}} \sqrt{\frac{\hbar}{\epsilon_0}} \sum_{n = 0}^{N} (\hat{a}_n u_n(\mathbf{r}, t) + \hat{a}_n^{\dagger} u_n^*(\mathbf{r}, t))
]

有限时间间隔 $\tau$ 由截止频率 $\omega_N$ 决定，高于此频率的模式为空。由此可得：
[
\tau = \frac{2L}{c(N + 1)} \quad \text{且} \quad \omega_n \tau = \frac{2\pi n}{N + 1}
]

时间-bin湮灭算子定义为：
[
\hat{b} {\mu} = \frac{1}{\sqrt{N + 1}} \sum {n = 0}^{N} e^{-i\mu\omega_n \tau} \hat{a} n
]
其逆关系为：
[
\hat{a}_n = \frac{1}{\sqrt{N + 1}} \su