20、刚体动力学：动能、运动方程与力分析

刚体动力学：动能、运动方程与力分析

1. 刚体的动能

刚体的动能分析是理解其运动特性的关键。对于刚体上的粒子 (P_i)，其动能 (T_i = \frac{1}{2} m_i v_i^2)，整个刚体系统的总动能为 (T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i v_i \cdot v_i)。

设 (A) 为刚体上一点，(\omega) 为刚体的角速度，动能可表示为：
[
T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i (v_A + \omega \times r_{AP_i}) \cdot (v_A + \omega \times r_{AP_i})
]

经过一系列推导，动能公式可进一步化简为：
[
T = \frac{1}{2} m v_A \cdot v_A + m v_A \cdot \omega \times r_{AC} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i \omega \cdot [r_{AP_i} \times (\omega \times r_{AP_i})] = \frac{1}{2} m v_A \cdot v_A + m v_A \cdot \omega \times r_{AC} + \frac{1}{2} \omega \cdot H_A
]

其中，(H_A) 是相对于点 (A) 的角动量，定义为 (H_A = \sum_{i=1}^{N} m_i r_{AP_i} \times (\omega \times r_{AP_i