从刚体动力学方程到 MATLAB 多种方法仿真验证

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终于结束了自己的毕设设计，这半年的时间一直在和刚体动力学仿真硬磕，关于这方面的网络资源不太多，因此在这里将自己不断摸索学到的方法做一个概括阐述，希望能够为同样饱受困扰的读者提供一些帮助。

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程序开源地址：刚体动力学仿真示例程序

〇、问题阐述

一般情况下，刚体系统具备这样形式的动力学方程：
$D(q)\ddot{q}+C(q,\dot{q})\dot{q}+G(q)= U$
其中， $q$ 为系统广义坐标， $D (q)$ 为惯性矩阵， $C(q,\dot{q})$ 为离心力及科里奥利力项， $G (q)$ 为重力项， $U$ 为广义力项。
为方便阐述，这里以 一阶旋转倒立摆 这一简单多刚体系统为研究对象，探讨该系统的动力学仿真问题。参考文献¹，在不考虑系统摩擦等不确定因素干扰情况下，给出各项具体形式为：
$\begin{array}{l} D(q)=\left[\begin{array}{ccc} J_{0}+m_{1}\left(L_{0}^{2}+l_{1}^{2} \sin ^{2} \theta_{1}\right) & m_{1} l_{1} L_{0} \cos \theta_{1} \\ m_{1} l_{1} L_{0} \cos \theta_{1} & J_{1}+m_{1} l_{1}^{2} \end{array}\right] \\ C(q, \dot{q})=\left[\begin{array}{c} \frac{1}{2}m_1l_{1}^{2}\sin({2\theta_1})\dot{\theta}_{1} & -m_1l_1L_{0}\sin{\theta_{1}}\dot{\theta}_{1}+\frac{1}{2}m_1l_1^2\sin({2\theta_1})\dot{\theta}_{0} \\ -\frac{1}{2}m_1l_1^2\sin({2\theta_1})\dot{\theta}_{0} & 0 \end{array}\right] \\ G(q)=\left[\begin{array}{cc} 0 \\ -m_{1} g l_{1} \sin \theta_{1} \end{array}\right] \quad \quad U(q)=\left[\begin{array}{c} \tau \\ 0 \end{array}\right] \end{array}$