12、质点动力学原理与实例分析

质点动力学原理与实例分析

1. 保守力与势能计算

1.1 引力势能与做功计算

在一个固定参考系 (xyz) 中，质量为 (M) 的原点 (O) 对质量为 (m) 的质点 (P) 存在引力作用，引力公式为 (F = \frac{GmM}{r^2})，其中 (G) 是万有引力常数，(r) 是质点 (P) 到原点 (O) 的距离。引力在各坐标轴的分量为：
[
\begin{cases}
F_x = -\frac{GmM}{r^2}\frac{x}{r}\
F_y = -\frac{GmM}{r^2}\frac{y}{r}\
F_z = -\frac{GmM}{r^2}\frac{z}{r}
\end{cases}
]
距离 (r) 的计算公式为 (r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2})，质点 (P) 的势能 (V) 为 (V = -\frac{GmM}{r}=-\frac{GmM}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}})。当质点 (P) 从点 (A) 移动到点 (B) 时，总功 (U_{AB}) 的计算公式为 (U_{AB} = -(V_B - V_A) = GmM(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A}))。

以下是使用 MATLAB 计算的代码：

syms x y z G m M xA yA zA xB yB zB
r_v = [x y z];
fprintf('r = [%s %s %s]\n',...
char(r_v(1)),char(r_v(2)),char(r_v(3