17、数值方法：随机值生成与蒙特卡罗积分

数值方法：随机值生成与蒙特卡罗积分

1. 随机值生成

1.1 线性同余法

线性同余法是一种生成随机数的方法，其递推公式为：
[x_{i + 1} = (ax_i + c) \pmod{n}]
其中，(a) 为乘数，(c) 为增量，均为非负整数。模运算 (\pmod{n}) 表示：
[x_{i + 1} = ax_i + c - nl_i]
这里 (l_i = \lfloor(ax_i + c)/n\rfloor) 是 ((ax_i + c)/n) 中的最大正整数。通过 (x_i/n) 可得到区间 ([0, 1]) 内的值。

若随机变量 (U) 在区间 ([0, 1]) 上服从均匀分布，对于在区间 ([a, b]) 上均匀分布的随机变量 (X)，其值 (x) 可通过以下变换得到：
[x = a + (b - a)u]

1.2 反演法

反演法是生成随机变量的重要方法，基于生成随机数。设随机变量 (X) 的分布函数为 (F(x))，由于 (F(x)) 是单调递增函数，其反函数 (F^{-1}(u)) 定义为满足 (F(x) = u) 的最小 (x) 值，即：
[F^{-1}(u) = \min{x : F(x) = u, 0 \leq u \leq 1}]
若随机变量 (U) 在区间 ([0, 1]) 上均匀分布，则随机变量 (X = F^{-1}(U)) 具有分布函数 (F(x))。

使用反演法生成随机变量 (X) 的值 (x) 需两个步骤：
1. 生成一个随机数，即随机变量 (U) 在区间 ([0, 1]) 上均匀分布的一个值 (u)。