21、统计数值方法：随机数生成与蒙特卡罗积分

统计数值方法：随机数生成与蒙特卡罗积分

1. 随机数生成

在计算机中生成随机数是许多数值方法的基础。由于无法直接连接抛硬币装置，目前可行的方法是通过基于数学公式的软件来生成随机数。然而，由公式生成的数并非真正的随机数，因此引入了“伪随机数”的概念，不过“伪”字通常会被省略。

1.1 乘法同余生成器

最常用的随机数生成器之一是乘法同余生成器，其公式为：
[n_{i + 1} = \lambda n_i \mod m, \quad i = 1, 2, \cdots]
其中，(\lambda) 是乘数，(m) 是模数，(n_1) 是种子。通过计算 (\lambda) 乘以当前值 (n_i) 再除以 (m) 的余数，得到后续的随机数。

例如，当乘数 (\lambda = 3)，模数 (m = 11)，种子 (n_1 = 1) 时，生成的随机数序列如下：

n1 = 1
n2 = remainder[(3 × 1) ÷ 11] = 3
n3 = remainder[(3 × 3) ÷ 11] = 9
n4 = remainder[(3 × 9) ÷ 11] = 5
n5 = remainder[(3 × 5) ÷ 11] = 4
n6 = remainder[(3 × 4) ÷ 11] = 1

此时，序列开始重复，循环为 (3, 9, 5, 4, 1)。

1.2 随机数生成器的讨论

显然，上述生成的序列不能被认为是从 1 到 10 的满意随机整数选择，因为缺少了 2、6、7、8 和