12、预测、滤波与方差协方差分量估计

预测、滤波与方差协方差分量估计

1. 预测与滤波

1.1 方差计算

在预测与滤波的相关计算中，$\sigma^2$ 的方差 $V(\sigma^2|y)$ 可由下式得出：
[V(\sigma^2|y) = \frac{2(\hat{\sigma}^2_B)^2}{n + 2(\sigma^2_p)^2/V_{\sigma^2}}]
其中，$b_0$ 和 $p_0$ 由特定公式（这里未详细列出）确定。

1.2 预测与滤波的特殊模型

1.2.1 矩阵设定与解释

通常对于预测与滤波模型，会给定矩阵乘积 $\Sigma_{ss} = Z\Sigma_{\gamma\gamma}Z’$ 和 $\Sigma_{\gamma y} = \Sigma_{\gamma\gamma}Z’$（且 $\Sigma_{y\gamma} = \Sigma_{\gamma y}’$）。从统计学角度解释，$\sigma^2\Sigma_{ss}$ 可看作信号 $Z\gamma$ 的协方差矩阵，$\sigma^2\Sigma_{\gamma y}$ 可看作 $\gamma$ 和 $y$ 的协方差矩阵。而 $\sigma^2(\Sigma_{ss}+\Sigma_{ee})$ 在传统统计中可解释为观测值 $y$ 的协方差矩阵。

1.2.2 后验边际分布与估计

通过将上述矩阵关系代入相关公式，可得到 $\beta$ 和 $\gamma$ 的后验边际分布：
- $\beta|y \sim t(\hat{\beta}, b_0(X’(\Sigma_{ss} + \Sigma_{ee})^{-1}X