5、概率分布及其先验密度函数解析

概率分布及其先验密度函数解析

1. 单变量分布

1.1 倒伽马分布

若随机变量 (X) 服从伽马分布 (X \sim G(b, p))，则随机变量 (Z = 1/X) 服从倒伽马分布 (Z \sim IG(b, p))，其密度函数为：
[p(z|b, p) = \frac{b^p}{\Gamma(p)}(\frac{1}{z})^{p + 1}e^{-\frac{b}{z}}]
其中 (b > 0)，(p > 0)，(0 < z < \infty)；当 (z) 取其他值时，(p(z|b, p) = 0)。
当 (p > 1) 时，(E(Z) = \frac{b}{p - 1})；当 (p > 2) 时，(V(Z) = \frac{b^2}{(p - 1)^2(p - 2)})。

1.2 贝塔分布

设随机变量 (Y \sim G(b, \alpha)) 和 (Z \sim G(b, \beta)) 相互独立，则随机变量 (X = \frac{Y}{Y + Z}) 服从贝塔分布 (X \sim B(\alpha, \beta))，其密度函数为：
[p(x|\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha - 1}(1 - x)^{\beta - 1}]
其中 (0 < x < 1)；当 (x) 取其他值时，(p(x|\alpha, \beta) = 0)。贝塔分布的分布函数称为不完全贝塔函数，可通过级数展开计算。

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