2、贝叶斯框架与概率分布的深入解析

贝叶斯框架与概率分布的深入解析

1. 贝叶斯框架

在贝叶斯的思维模式下，我们所关注的信念可以被解读为概率。以代码测试为例，在进行测试之前，我们对代码中存在漏洞这一事件 A 会有一个先验信念。当我们观察到证据，比如代码通过了 X 次测试，就需要更新我们的信念，这个新的信念被称为后验概率。更新信念可通过贝叶斯定理实现：
[P(A|X) = \frac{P(X|A)P(A)}{P(X)} \propto P(X|A)P(A)]
这里的“∝”表示“与……成比例”。需要注意的是，这个公式并非贝叶斯推理所独有，它是一个数学事实，在贝叶斯推理之外也有应用。贝叶斯推理只是利用它将先验概率 (P(A)) 与更新后的后验概率 (P(A|X)) 联系起来。

接下来通过两个具体例子进一步说明贝叶斯框架的应用。
- 抛硬币示例 ：假设我们不确定抛硬币正面朝上的概率 (p)。我们开始抛硬币并记录结果，随着抛硬币次数的增加，我们对 (p) 的推断会发生变化。通过绘制一系列后验概率曲线可以发现，当数据较少时，后验概率分布较为分散；随着数据增多，概率会逐渐集中在真实值 (p = 0.5) 附近。但如果观察到极端数据，如 8 次抛硬币只有 1 次正面朝上，分布会明显偏离 0.5。
- 图书管理员还是农民示例 ：史蒂夫被描述为害羞、乐于助人且注重工作细节。很多人可能会认为他更像图书管理员，但实际上男性农民与男性图书管理员的比例是 20:1。设事件 A 为史蒂夫是图书管理员，在没有任何信息时，先验概率 (P(A) = \frac{1}{21} = 0.047)。当邻居提供了关于他个性的信息 X 后，我们想计算 (P(A|X)