费马小定理 Codeforces615D Multipliers

最新推荐文章于 2020-03-13 11:46:40 发布

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本文解决了一个数学问题，即计算由特定质数乘积构成的数的所有约数的乘积，并通过模运算简化计算过程。采用前缀思想和快速幂算法提高效率。

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题意：这些质数的乘积所组成的那个数，求这个数的所有约数的乘积，取模1e9+7

思路：先分别求出每个数出现的个数，那么对于这一类的数，计算它对答案的贡献。首先，假如最多有s个这样的数字，假设这个数为a，那么我要考虑，对于一个约数，出现了1次，2次......s次，然后其他的质数的出现情况有多少种呢，假如其他质数出现的次数为cnt[i]，那么就有P = (cnt[1]+1)*(cnt[2]+1)*....*(cnt[i-1]+1)*(cnt[i+1]+1)*...(cnt[n]+1)，那么答案就是power(a,P*(cnt[i]+1)*cnt[i]/2)

对于P，我们可以用前缀思想来维护。对于a^b%mod，因为b很大，但是根据费马小定理，b应该对mod-1取模

所以我们在幂上面应该对mod-1取模，然后一个快速幂，就搞定啦

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<functional>
#define fuck(x) cout<<"["<<x<<"]"
#define FIN freopen("input.txt","r",stdin)
#define FOUT freopen("output.txt","w+",stdout)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int>PII;

const int MX = 2e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

LL L[MX], R[MX];
int A[MX], B[MX], cnt[MX], rear;

LL power(LL a, LL b, LL mod) {
    LL ret = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ret = ret * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main() {
    int n; //FIN;
    while(~scanf("%d", &n)) {
        rear = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &A[i]);
        }
        sort(A + 1, A + 1 + n);

        LL ans = 1;
        int l, r, w;
        L[0] = 1;
        for(l = 1; l <= n; l = r + 1) {
            for(r = l; r < n && A[r + 1] == A[r]; r++);
            w = r - l + 1;
            B[++rear] = A[l]; cnt[rear] = w;
            L[rear] = L[rear - 1] * (cnt[rear] + 1) % (mod - 1);
        }
        R[rear + 1] = 1;
        for(r = rear; r >= 1; r--) {
            R[r] = R[r + 1] * (cnt[r] + 1) % (mod - 1);
        }
        for(int i = 1; i <= rear; i++) {
            LL p = (LL)cnt[i] * (cnt[i] + 1) / 2 % (mod - 1) * L[i - 1] % (mod - 1) * R[i + 1] % (mod - 1);
            ans = ans * power(B[i], p, mod) % mod;
        }
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}