组合数学+递推式 hdu2068 RPG的错排

最新推荐文章于 2019-10-19 22:10:25 发布

原创最新推荐文章于 2019-10-19 22:10:25 发布 · 1.4k 阅读

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本文详细介绍了通过动态规划解决错位排列问题的方法，包括递推公式、边界条件及应用实例，旨在帮助读者理解并掌握错位排列的求解技巧。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

我的思路是这样的：

枚举正确的个数i，然后从n个位置中选择i个位置，C(n,i)

那么剩下的n-i个位置，都不是答案，我们暂时成为错位排列

现在的难点就在于，如何球错位排列

设F[i]表示i个数字，错位排列的种类数
那么，先只考虑前i-1个数字错位排列，暂时在第i个位置把数字i放上，此时是不合法的因为i第i个位置不能放i，所以要考虑把i和其他数字调换位置
在前i-1个位置中，选出一个位置，把这个位置的数字与数字i调换位置，可能的情况就有(i-1)*F[i-1]

看似情况全部考虑了，其实还有一种情况没考虑。
假如前i-1个位置中，存在一个位置k,放的是数字k，然后另外i-2个数字是错位排列的，那么此时只要把这个数字k和数字i交换，也能使新生成的排列是错位排列
这种情况是不属于第一种情况的。这种情况的种类有枚举k的位置 * i-2个数字错位排列的情况数,即(i-1)*F[i-2]

综上所述
F[i]=(i-1)*(F[i-1]+F[i-2])
其中边界F[1]=0,F[2]=1

那么这题就基本做完了~

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<functional>

using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;

const int MX = 28 + 5;

LL F[MX];
LL C[MX][MX];

int main() {
    F[0] = 1; F[1] = 0; F[2] = 1;
    for(int i = 3; i < MX; i++) {
        F[i] = (F[i - 1] + F[i - 2]) * (i - 1);
    }

    C[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i < MX; i++) {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j++) {
            C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
        }
    }

    int n;
    while(~scanf("%d", &n), n) {
        LL ans = 0;
        for(int i = (n + 1) / 2; i <= n; i++) {
            ans += C[n][i] * F[n - i];
        }
        printf("%I64d\n", ans);
    }
}