算法基础之数学知识——求组合数III（样例n = 20，a，b ＜= 10^18）lukas（卢卡斯定理） + 快速幂+ 逆元，时间复杂度O(plogn)

题目：
给定 n 组询问，每组询问给定三个整数 a,b,p，其中 p 是质数，请你输出 Cab modp 的值。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一组 a,b,p。

输出格式
共 n 行，每行输出一个询问的解。

数据范围
1≤n≤20,
1≤b≤a≤10^18,
1≤p≤10^5,

输入样例：
3
5 3 7
3 1 5
6 4 13

输出样例：
3
3
2

思想：
题目的核心原理是用到了一个卢卡斯定理：Cab = Ca%p b%p * Ca/p b/p 通过这个定理可以将a和b减小到p以下。然后再通过快速幂和逆元求得组合数。

代码如下：

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;
//快速幂
int qmi(int a, int i, int p)
{
    int res = 1;
    while(i){
        if(i & 1)   res = (ll)res * a % p;
        a = (ll)a * a % p;
        i >>= 1;
    }
    return res;
}
//求组合数
int c(ll a, ll b, int p)
{
    int res = 1;
    for(int i = 1, j = a; i <= b; i ++, j --){
        res = (ll)res * j % p;
        res = (ll)res * qmi(i, p - 2, p) % p;
    }
    return res;
}
//卢卡斯定理
int lucas(ll a, ll b, int p)
{
    if(a < p && b < p) return c(a, b, p);
    return (ll)c(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n --){
        ll a, b;
        int p;
        cin >> a >> b >> p;
        cout << lucas(a, b, p) << endl;
    }
    return 0;
}