信息安全数学基础第3章同余式_1).设(a, m)= 1.同余式 a x lequiv = 1 mod m 有解吗?如何求解?-优快云博客

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第3章同余式

定义 3.1.1

设 $m$ 是一个正整数， $f (x)$ 为多项式
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$
其中 $a_i$ 是正整数，则
$f(x)\equiv0\mod m$
叫做模 $m$ 同余式。若 $m\nmid a_n$ ，则 $n$ 称为 $f (x)$ 的次数，记为 $deg\ f(x)$ 。此时，上式又称为模 $m$ 的 $n$ 次同余式。

如果整数 $x = a$ 使得上式成立
$f(a)\equiv0\mod m$
则 $a$ 叫做该同余式的解。事实上，满足 $x\equiv a\mod m$ 的所有整数都会使得同余式成立。因此，同余式的解 $a$ 通常写成
$x\equiv a\mod m$
在模 $m$ 的完全剩余系中，使得同余式成立的剩余个数叫做同余式的解数。

同余式的基本求解思路

求解规约( $f(x)\equiv0\mod m\Leftarrow f(x)\equiv 0\mod p^{\alpha} \Leftarrow f(x)\equiv0 \mod p$ )
解的存在性。
解的个数。
具体求解。

定理3.1.1

设 $m$ 是一个正整数， $a$ 是满足 $m\nmid a$ 的整数，则一次同余式
$ax\equiv1\mod m$
有解的充分必要条件是 $(a, m) = 1$ 。

并且，当上面的同余式有解时，其解是唯一的。

定义 3.1.2

设 $m$ 是一个正整数， $a$ 是一个整数。如果存在整数 $a^{'}$ 使得
$a\cdot a'\equiv a'\cdot a\equiv1\mod m$
成立。则 $a$ 叫做模 $m$ 可逆元。

定理 3.1.2

设 $m$ 是一个正整数，则整数 $a$ 是模 $m$ 简化剩余的充要条件是整数 $a$ 是模 $m$ 逆元。

定理 3.1.3

设 $m$ 是一个正整数， $a$ 是满足 $m\nmid a$ 的整数，则一次同余式
$ax\equiv b\mod m$
有解的充分必要条件是 $(a,m)\mid b$ 。

而且，当上式有解时，其解为
$x\equiv \frac{b}{(a,m)}((\frac{a}{(a,m)})^{-1}\mod \frac{m}{(a,m)})+t\cdot\frac{m}{(a,m)}\mod m\\ t=0,1,\cdots,(a,m)-1$

定理 3.2.1 中国剩余定理

设 $m_1,m_2,\cdots,m_k$ 是 $k$ 个两两互素的正整数，则对任意的整数 $b_1,b_2,\cdots,b_k$ ，同余方程组
$\left\{ \begin{array}{l}\\ x\equiv b_1&\mod m_1\\ x\equiv b_2&\mod m_2\\ &\vdots\\ x\equiv b_k&\mod m_k\\ \end{array} \right.$
一定有解，解为
$x=\sum_{i=1}^{k}b_iM_iM_i'\mod m\\ m=\Pi_{i=1}^{k}m_i\\ M_i=\frac{m}{m_i}\\ {M'_i}\cdot {M_i}\equiv1\mod m$
中国剩余定理也可以递归证明。

定理 3.2.4

在定理 3.2.1的条件下，若 $b_1,b_2,\cdots,b_k$ 分别遍历模 $m_1,m_2,\cdots,m_k$ 的完全剩余系，则
$x\equiv \sum_{i=1}^{k}b_iM_iM_i'\mod m$
也遍历 $m$ 的完全剩余系。

命题 3.2.1

设 $m_1,m_2,\cdots,m_k$ 是k个互素的正整数。令 $m=m_1m_2\cdots m_k$ ，则对任意的整数 $0\le b <m$ ，存在唯一的整数 $b_1,b_2,\cdots,b_k$ ， $0\le b_i < m_i,i=1,2,\cdots,k$ ，使得
$\sum_{i=1}^{k}b_iM_iM'_i=b\mod m$
成立。

进一步， $(b, m) = 1$ 的充要条件是 $(b_i,m_i)=1,\ 1\le i\le k$

定理 3.3.1

设 $m_1,m_2,\cdots,m_k$ 是k个两两互素的正整数， $m=m_1m_2\cdots m_k$ ，则同余式
$f(x)\equiv 0\mod m$
和方程组
$\left\{ \begin{array}{l} f(x)\equiv 0&\mod m_1\\ f(x)\equiv 0&\mod m_2\\ &\vdots\\ f(x)\equiv 0&\mod m_k\\ \end{array} \right.$
等价。如果用 $T_i$ 来表示同余式
$f(x)\equiv 0 \mod m$
的解的个数，则有
$T=T_1T_2\cdots T_k$

定理 3.3.2

设 $x\equiv x_1\mod m$ 是同余式
$f(x)\equiv 0\mod p$
的一个解，且
$f'(x_1),p)=1$
则同余式
$f(x)\equiv0\mod p^{\alpha}$
有解
$x\equiv x_{\alpha}\mod p^{\alpha}$
其中， $x_{\alpha}$ 可由下面的递推式给出
$x_i=x_{i-1}+t_{i-1}\cdot p^{i-1}\mod p^i$
这里
$t_{i-1}\equiv\frac{-f(x_{i-1})}{p^{i-1}}\cdot(f'(x_1)^{-1}\mod p)\mod p,\ i=1,2,\cdots,\alpha$

引理 3.4.1

设 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ 为 $n$ 次整系数多项式， $g(x)=x^m+\cdots+b_1x+b_0$ 为 $m\ge1$ 的首一整系数多项式，则存在整系数多项式 $q (x)$ 和 $r (x)$ 使得
$f(x)=g(x)q(x)+r(x),\ deg\ g(x) > deg\ r(x)$

定理 3.4.1

同余式
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\equiv 0 \mod p$
和一个次数不超过 $p - 1$ 的模 $p$ 同余式等价。
$f(x)=q(x)(x^p-x)+r(x)$

定理 3.4.2

设 $1\le k\le n$ ，若
$x\equiv a_i\mod p,\ i=1,2,\cdots,k$
是同余式
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\equiv 0 \mod p$

的 $k$ 个不同的解，则对任何整数 $x$ ，都有
$f(x)=f_k(x)(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_k)\equiv 0\mod p$
成立。其中 $f_k(x)$ 是 $n - k$ 次多项式，且最高次数项系数为 $a_n$

定理 3.4.3

设 $p$ 是一个素数，则对任何整数 $x$ ，有
$x^{p-1}-1\equiv (x-1)(x-2)\cdots(x-p+1)\mod p$

定理 3.4.4

同余式
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\equiv 0 \mod p$
的不同解的个数不超过其次数。

定理 3.4.5

设 $p$ 是一个素数， $n$ 是一个正整数， $n\le p$ ，则同余式
$f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\equiv 0 \mod p$
有 $n$ 个解的充分必要条件是 $x^p-x$ 被 $f (x)$ 除所得余式的所有系数都是 $p$ 的倍数。