矩阵理论复习部分——线性代数（1）行列式

简单行列式计算

一、基本行列式

行列式的阶数：阶数等于行列式的行数和列数。注意：行列式的行数等于列数！
下边是一个四阶行列式：
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|$$

余子式，相当于把所在行和列去掉，空出后得到3×3行列式
$$M_{32}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& & a_{23}& a_{24}\\ & & & \\ a_{41}& & a_{43}& a_{44}\end{array}\right|$$

$$M_{32}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{23}& a_{24}\\ a_{41}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|$$

代数余子式：
$$A_{32}=(-1{)}^{3+2}{M}_{32}$$

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

定理：行列式等于它任一行或者任一列的各个元素与其对应的代数余子式乘积之和。

二、行列式的计算

1、二阶行列式计算
$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=(a\times d)-(c\times b)$$
2、高阶行列式计算
可使用代数余子式的定理化为二阶，进而计算。

3、上、下三角行列式计算
以上三角行列式举例：
$$\left|\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ a_{21}& {\lambda }_2& 0\\ a_{31}& a_{32}& {\lambda }_3\end{array}\right|={\lambda }_1\times {\lambda }_2\times {\lambda }_3$$

三、行列式的性质

定理：互换行列式两行，行列式变号；
定理：行列式的某一行或者某一列乘以 $k$，等于用数 $k$乘以行列式；
定理：把行列式的某一行或者某一列乘以同一个数 $k$，然后加到另一行或者另一列，行列式不变；（某行 $k$ 倍，加到另外一行，行列式不变）