JZOJ6024. 【GDOI2019模拟2019.2.16】网格

本文探讨了一种特殊的组合问题,通过对规律的观察,将其转化为左上到右下和右上到左下的子状态问题。利用多项式生成函数F(x)解决组合问题,通过求根公式得出F(x)=(x+1-sqrt(x^2-6x+1))/4,最终答案为f[n]*2。

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Description

在这里插入图片描述

多组数据,1<=n,T<=5e5

Solution

  • 通过找规律 我们发现我们可以将答案分为左上到右下,右上到左下两种吗,并且既不重复,也不遗漏。
  • 例如:
    1100000
    1100000
    0010000
    0001110
    0001110
    0001110
    0000001
  • 这个状态,最后必然合法。对于这个左上到右下的状态里面的每一个1构成的正方形,又分别是一个右上到左下的子状态。这样就不会重复了,如此交替直到边长为1。
  • 于是我们设一个f[i]表示左上到右下的边长为i的正方形的方案数,由于对称,右上到左下是一样的。
  • 那么就变成了一个组合的问题,我们可以n2解决。
  • 发现组合的时候十分有规律性,将f生成函数一下。
  • F(x)=sigma(ai*xi),ai即为f[i]。
  • F(x)=sigma(F(x)i)[i为2~inf] + x
  • 即将当前块分为2块、3块、…inf块,多项式相乘,最后再补上分一块的a1++
  • 解方程,首先等比数列求和,其中有一项为F(x)inf=0。由于F(x)有意义的位只有小于等于n的,而且F(x)并没有常数项,所以在无数次后有意义的位数为0。
  • 求根公式中有正负号,但是由于答案无常数项,所以只有减才能满足。
  • 化简得F(x)=(x+1-sqrt(x2-6x+1))/4
  • 多项式开根套上即可。最后答案即为f[n]*2。
  • standing…
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