Deep_Thinking的博客

Description传送门Solution考虑将恰好转化为至少，即两两距离不小于z的概率，这是一个函数f(z)f(z)f(z)，之后只要对f(z)f(z)f(z)进行积分之后恰好就是答案了。对于一个固定的zzz，我们可以将模型转换一下，第iii个人对应的区间变为[xi−1−(i−1)z,xi−(i−1)z][x_{i-1}-(i-1)z,x_i-(i-1)z][xi−1​−(i−1)z,xi​−(i−1)z]，那么两两之间距离不超过zzz等价于在这个新的区间随机，最后nnn个人单调递增。将

Description有一个边为字符的树（字符集大小为2n2n2n）。qqq次在线操作。修改：在某一个点下面加点。询问：对于一个节点xxx到它的根节点的路径上的字符串SSS，已有一个它的长度为lll的前缀，每一次随机在后面加入字符集中的一个字符，问期望多少次能够得到SSS。对998244353取模。q,n≤3e5q,n\le3e5q,n≤3e5Solution首先考虑一个串SSS的时候怎么计算，与[CTSC2006]歌唱王国是一样的，考虑这个串的所有border，期望步数为：∑i=

Description给你一个nnn个点的树，你可以选择一个点在上面随机游走，每次等概率随机跳到一个距离不超过2的点（包括自己）。现在给出mmm个标记点，求每一个点跳到任意一个标记点的期望步数。n,m≤1e5n,m\le1e5n,m≤1e5Solution考虑从叶子往上面推，那么一个点的期望E(x)E(x)E(x)可以表示成sum[fax],E(fax),E(fafax)sum[fa_x],E(fa_x),E(fa_{fa_x})sum[fax​],E(fax​),E(fafax​​)的和，

Descriptionn≤4e7,ai≤1e18n\le4e7,a_i\le1e18n≤4e7,ai​≤1e18Solution神仙函数（构造）题。首先这种题目可以归为一类：中间的步骤完全随机，求起始状态到终止状态的期望步数。相应的也有一般的解法，构造一个势能函数，使它的增量是一个定值，终止状态唯一对应函数的一个最值，那么设终止状态TTT，起始状态SSS，状态sss势能函数F(s)F(s)F(s)，增量Δ\DeltaΔ，那么期望步数E(S)=F(T)−F(S)ΔE(S)=\frac{F(

Description传送门n<=1000n<=1000n<=1000Solution我们可以模拟这个过程。一种简单的方法是对于奇数长度段直接分，对于偶数长度的段有两个位置可以选，我们可以钦定它选前一个位置，然后再继续往下分，最后再以这个位置在这个段内将所有的在这之后的人的概率对称过去。具体来说，我们可以发现对于所有的当前的段，(len−1)/2(len-1)/2...

Description定义每一次操作是一个有序的三元组(i,j,k)，将序列中的i移到j的位置，j移到k的位置，k移到i的位置。给定长度为n的序列A[i],求在m次随机操作内将其变为B[i]的期望。n<=14,m<=1e9Solutionn那么小，m那么大，可以考虑矩乘，但是我们不可能压缩一个n!的状态。考虑到每一个序列A变成B可以理解成什么，每一个对应数字位置相连之后会...

DescriptionData ConstraintSolution由于数据的特殊性以及精度的局限性，我们可以考虑暴力枚举轮数，然后计算答案，这样的轮数是在可以接受的范围内的。设状态f[i][j]表示第i轮，从j出发到达终点的概率，这个十分好转移O(6n)。对于第i轮，棋子x获胜的概率，是前i-1轮没有结束游戏，且前x-1个棋子也没有到达终点时，自己到达了终点。设b[i]表示棋子...

PROBLEM给出一棵n个节点的树，我们每次随机染黑一个叶子节点（可以重复染黑），操作无限次后，这棵树的所有叶子节点必然全部会被染成黑色。定义R为这棵树不经过黑点的直径，求使R第一次变小期望的步数。前置知识：树的直径的性质、期望的线性性如果一棵树有多条直径，当直径长为偶数时，多条直径必定交于一点，当直径长为奇数时，多条直径必定经过同一边，这一点或一边必定在每条直径的中间。证明：不同的...

PROBLEM求无向图期望联通快的个数。SOLUTION考虑将每一个联通块的贡献独立，我们需要得知一个联通块内部联通的概率，与其不与外面任何一个点联通的概率。考虑一种经典的做法。我们要求联通的概率，用1减去不连通的概率。我们设F[S]表示S这个联通块联通的概率。转移我们枚举编号最小的点所在的子集，设为T，那么F[S]+=F[T]*e[T][S xor T]，e表示T这个子集不向另外节点连边...