概率dp入门 求期望

题意：

题目

有n类bug， s种系统，每个bug可以属于一种系统，一类bug。

每天可以找到一个新的bug，这个bug属于每一类bug的概率相同都是 ，属于每一种系统的概率也是相同的，都是。

那么要使得每一类bug都至少有一个bug，每一个系统也至少有一个bug，所需要的天数的期望是多少。

输入n和s输出天数的期望

思路：

考虑如果没有s种系统，只需要找到n类不同的bug，那么就非常的简单，这个期望就是n

对于概率dp都是倒着推导的，dp[i][j]代表已经找到了i类bug，j种系统，需要的期望。

很明显dp[n][s] = 0，对于dp[i][j]来说，下一个状态可能有四种情况。

1 找到的这个bug的类和系统都是以前出现过的，状态：dp[i][j] , 概率:i*j / (n*s)

2 这个bug的类没有出现过，系统出现过，状态：dp[i+1][j]，概率：(n-i)*j / (n*s)

3  这个bug的类出现过，系统没有出现过，状态:dp[i][j+1] 概率  i * (s -j ) / (n*s)

4 这个bug的类个系统都没有出现过, 状态: dp[i+1][j+1] 概率: (n-i) * (s - j) / (n *s)

状态转移方程：dp[i][j] = dp[i][j] * (i*j / (n*s)) + dp[i+1][j] * ((n-i)*j / (n*s)) + dp[i][j+1] * ( i * (s -j ) / (n*s)) + dp[i+1][j+1] * ((n-i) * (s - j) / (n *s)) + 1

+1 是因为步数应该加一，因为多了一天了。

左右两边全部都乘上n*s。 dp[i][j] * n *s  = dp[i][j] * i *j + dp[i+1][j] *(n-i)*j + dp[i][j+1] * i * (s -j ) + dp[i+1][j+1] * (n-i ) * (s-j) + n *s 

合并dp[i][j]

dp[i][j] (n*s - i *j ) = dp[i+1][j] *(n-i)*j + dp[i][j+1] * i * (s -j ) + dp[i+1][j+1] * (n-i ) * (s-j) + n *s 

左右两边都除以(n * s - i * j ) 

dp[i][j] = (dp[i+1][j] *(n-i)*j + dp[i][j+1] * i * (s -j ) + dp[i+1][j+1] * (n-i ) * (s-j) + n *s ) / (n*s - i * j)

 

#pragma warning(disable:4996)
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 505;
const ll mod = 10000;
double dp[1005][1005];
int main()
{
	int n, i, j, s;
	scanf("%d%d", &n, &s);
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	for (i = n; i >= 0; i--)
	{
		for (j = s; j >= 0; j--)
		{
			if (i == n && j == s)continue;
			dp[i][j] = (dp[i + 1][j + 1] * (n - i)*(s - j) + dp[i + 1][j] * (n - i)*j + 
				dp[i][j + 1] * i*(s - j) + n * s) / (n*s - i * j);
			//化简后的状态转移方程
		}
	}
	printf("%.4lf\n", dp[0][0]);
	return 0;
}