第十三届蓝桥杯大赛软件赛决赛（C/C++ 大学C组）

肖有量

已于 2023-05-27 23:49:46 修改

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文章标签：蓝桥杯 C/C++

于 2022-06-25 18:06:50 首次发布

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蓝桥杯 2022年国赛真题
^{C/C++ 大学C组}

试题 A: 斐波那契与 7
试题 B: 小蓝做实验
试题 C: 取模
试题 D: 内存空间
试题 E: 斐波那契数组
试题 F: 近似 GCD
试题 G: 数组个数
试题 H: 六六大顺
试题 I: 打折
试题 J: 替换字符

试题 A: 斐波那契与 7

本题总分： $5$ 分

【问题描述】

斐波那契数列的递推公式为 $：$ $F_n = F_{n−1} + F_{n−2}$ ，其中 $F_1 = F_2 = 1$ 。

请问，斐波那契数列的第 $1$ 至 $202202011200$ 项（含）中，有多少项的个位是 $7$ 。

【答案提交】

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个由大写字母组成的字符串，在提交答案时只填写这个字符串，填写多余的内容将无法得分。

26960268160

找循环节

找到斐波那契数列在个位上的循环节，然后将答案拆分成三部分就完事了。

#include <stdio.h>

const long long n = 202202011200;

int map[10][10], sum[101];

int main() {
   
    int i = 1, x = 0, y = 1, z = 1;
    for (; !map[x][y]; ++i) {
   
        map[x][y] = 1;
        sum[i] = sum[i - 1] + (y == 7);
        x = y, y = z, z = (x + y) % 10;
    }
    printf("%lld",
            (n - map[x][y] + 1) / (i - map[x][y]) * (sum[i - 1] - sum[map[x][y] - 1])
            + sum[(n - map[x][y] + 1) % (i - map[x][y]) + map[x][y] - 1]
            );
}

试题 B: 小蓝做实验

本题总分： $5$ 分

【问题描述】

小蓝很喜欢科研，他最近做了一个实验得到了一批实验数据，一共是两百万个正整数。如果按照预期，所有的实验数据 $x$ 都应该满足 $10^7 ≤ x ≤ 10^8$ 。但是做实验都会有一些误差，会导致出现一些预期外的数据，这种误差数据 $y$ 的范围是 $10^3 ≤ y ≤ 10^{12}$ 。由于小蓝做实验很可靠，所以他所有的实验数据中 $99.99\%$ 以上都是符合预期的。小蓝的所有实验数据都在 $\mathrm{primes.txt}$ 中，现在他想统计这两百万个正整数中有多少个是质数，你能告诉他吗？

【答案提交】

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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欧拉筛

首先排除 $\mathrm{Miller}$ - $\mathrm{Robin}$ ，一般 $T$ 次询问的题目， $T$ 越大，对单次询问响应的复杂度要求越高，于是考虑欧拉筛线性筛出不大于 $1 e 8$ 的质数， $O (1)$ 响应 $99.99\%$ 的询问，而剩下询问中， $y$ 不会大于 $1 e 16$ ，利用因数的对称性，可以在 $O(\sqrt y)$ 的复杂下响应。

#include <stdio.h>

const int N = 100000000;

int n, ans, p[5761456];

bool pb[N + 1];

int main() {
   
    for (int i = 2; i <= N; ++i) {
   
        if (!pb[i]) p[n++] = i;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
   
            if (i * p[j] > N) break;
            pb[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0) break;
        }
    }
    freopen("primes.txt", "r", stdin);
    for (long long i, n; ~scanf("%lld", &n);) {
   
        if (n > N) {
   
            for (i = 0; p[i] <= 1000000; ++i)
                if (n % p[i] == 0) break;
            if (p[i] > 1000000) ++ans;
        } else if (!pb[n]) ++ans;
    }
    printf("%d", ans);
}

试题 C: 取模

时间限制: $1.0\mathrm s$ 内存限制: $256.0\mathrm{MB}$ 本题总分： $10$ 分

【问题描述】

给定 $n, m$ ，问是否存在两个不同的数 $x, y$ 使得 $1 \leq x < y \leq m$ 且 $\operatorname{mod} x = n \operatorname{mod} y$ 。

【输入格式】

输入包含多组独立的询问。

第一行包含一个整数 $T$ 表示询问的组数。

接下来 $T$ 行每行包含两个整数 $n, m$ ，用一个空格分隔，表示一组询问。

【输出格式】

输出 $T$ 行，每行依次对应一组询问的结果。如果存在，输出单词 $\mathrm{Yes}$ ；如果不存在，输出单词 $\mathrm{No}$ 。

【样例输入】

【样例输出】

No
No
Yes

【评测用例规模与约定】

对于 $20\%$ 的评测用例， $T \leq 100 ， n, m \leq 1000$ ；
对于 $50\%$ 的评测用例， $T ≤10000 ，n,m≤10^5$ ；
对于所有评测用例， $1≤T ≤10^5 ，1≤n≤10^9 ，2≤m≤10^9$ 。

中国剩余定理

依题意，对给定两个整数 $n, m$ ， $\geq 1,m \geq 2$ ，判断其逆命题 $\cdots,m$ ， $\operatorname{mod} k$ 恰取遍 $[0, m - 1]$ 是否成立，

近一步引出等价逆命题， $\operatorname{mod} k \equiv k-1$ 是否在 $\in [1,m)$ 下都成立，因为 $\operatorname{mod} 1 \equiv 0$ ， $\operatorname{mod} 2$ 若想使上述命题为真，只能取 $1$ ，以此类推。

于是有同余方程组，当 $n$ 满足下列方程组时，无论如何也找不到两个不同的数 $x, y$ 使得 $1 \leq x < y \leq m$ 且 $\operatorname{mod} x = n \operatorname{mod} y$ 。 $\begin{cases} n \equiv 1 & \pmod 2 \\ n \equiv 2 & \pmod 3 \\ \quad\ \vdots & \qquad \vdots\\ n \equiv m-1 & \pmod m \end{cases}$ 自顶向下合并同余方程 $2 p - 3 q = 2 - 1$ ，解得 $p = 2, q = 1$ ，代入 $\begin{cases} n \equiv 2p+1 & \pmod 2 \\ n \equiv 3q+2 & \pmod 3 \\ \end{cases}$ 可得 $\equiv 5 \pmod {\operatorname{lcm}(2, 3) = 6}$ ，假设 $\operatorname{lcm}\{k, 1\leq k \leq m\} - 1$ ，当 $\leq 3$ 时显然成立，考虑 $m + 1$ ，联立同余方程： $\begin{cases} n \equiv \operatorname{lcm}\{k, 1\leq k \leq m\} - 1 & \pmod {\operatorname{lcm}\{k, 1\leq k \leq m\}} \\ n \equiv m & \pmod {m+1} \end{cases}$ 解： $\operatorname{lcm}\{k, 1\leq k \leq m\}p-(m+1)q = m -\operatorname{lcm}\{k, 1\leq k \leq m\}+1$ ，得： $p = - 1, q = - 1$ ，联立可得 $n\equiv-1 \pmod {\operatorname{lcm}\{k, 1\leq k \leq m+1\}}$ ，即模 $\operatorname{lcm}\{k, 1\leq k \leq m+1\}$ 的加法逆元 $\operatorname{lcm}\{k, 1\leq k \leq m+1\}-1$ 。

这启发了我们，只需枚举不超过 $22$ 个数（ $\operatorname{lcm}\{k, 1\leq k \leq 23\} \geq 1e9$ ），就可以判断 $n, m$ 是否满足上列同余式，继而判断 $n, m$ 是否满足原命题。

#include <stdio.h>

int _, n, m;

int main() {
   
    for (scanf("%d", &_); _--;) {
   
        scanf("%d %d", &n, &m);
        int flag = 0;
        if (m > 22) m = 22;
        for (int i = 2; i <= m; ++i)
            if (n % i != i - 1) flag = 1;
        puts(flag ? "Yes" : "No");
    }
}