第十一届蓝桥杯大赛软件类决赛（C/C++ 大学A组）

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  蓝桥杯个人赛软件类历届真题及其解析

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试题 A: 合数个数

本题总分：$5$ 分

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【问题描述】

  一个数如果除了 $1$ 和自己还有其他约数，则称为一个合数。例如：$1,2,3$ 不是合数，$4,6$ 是合数。

  请问从 $1$ 到 $2020$ 一共有多少个合数。

【答案提交】

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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1713

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#include <stdio.h>

const int N = 2020;

int ans, factor[N + 1];

int main() {
   
    for (int i = 2; i <= N; ++i)
        if (factor[i]) ++ans;
        else
            for (int j = i; j <= N; j += i)
                factor[j] = 1;
    printf("%d", ans);
}

  这码风，程序设计老师看了直摇头。

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试题 B: 含 2 天数

本题总分：$5$ 分

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【问题描述】

  小蓝特别喜欢 $2$，今年是公元 $2020$ 年，他特别高兴，因为每天日历上都可以看到 2。

  如果日历中只显示年月日，请问从公元 $1900$ 年 $1$ 月 $1$ 日到公元 $9999$ 年 $12$ 月 $31$ 日，一共有多少天日历上包含 $2$。即有多少天中年月日的数位中包含数字 $2$。

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【答案提交】

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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1994240

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#include <stdio.h>

int ans, days[]{
   0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

int isLeap(int year) {
    return !(year % 100 ? year % 4 : year % 400); }

int contain2(int num) {
    do if (num % 10 == 2) return 1; while (num /= 10); }

int main() {
   
    for (int year = 1900; year <= 9999; ++year) {
   
        if (isLeap(year)) days[2] = 29;
        for (int month = 1; month <= 12; ++month)
            for (int day = 1; day <= days[month]; ++day)
                if (contain2(year) || contain2(month) || contain2(day)) ++ ans;
        days[2] = 28;
    }
    printf("%d", ans);
}

  摇头。

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试题 C: 本质上升序列

本题总分：$10$ 分

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【问题描述】

  小蓝特别喜欢单调递增的事物。

  在一个字符串中，如果取出若干个字符，将这些字符按照在字符串中的顺序排列后是单调递增的，则成为这个字符串中的一个单调递增子序列。

  例如，在字符串 $\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{q}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{o}$ 中，如果取出字符 $\mathrm{n}$ 和 $\mathrm{q}$，则 $\mathrm{n}\mathrm{q}$ 组成一个单调递增子序列。类似的单调递增子序列还有 $\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{q}$、$\mathrm{i}$、$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}$ 等等。

  小蓝发现，有些子序列虽然位置不同，但是字符序列是一样的，例如取第二个字符和最后一个字符可以取到 $\mathrm{a}\mathrm{o}$，取最后两个字符也可以取到 $\mathrm{a}\mathrm{o}$。
  小蓝认为他们并没有本质不同。

  对于一个字符串，小蓝想知道，本质不同的递增子序列有多少个？

  例如，对于字符串 $\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{q}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{o}$，本质不同的递增子序列有 $21$ 个。它们分别是 $\mathrm{l}$、$\mathrm{a}$、$\mathrm{n}$、$\mathrm{q}$、$\mathrm{i}$、$\mathrm{o}$、$\mathrm{l}\mathrm{n}$、$\mathrm{a}\mathrm{n}$、$\mathrm{l}\mathrm{q}$、$\mathrm{a}\mathrm{q}$、$\mathrm{n}\mathrm{q}$、$\mathrm{a}\mathrm{i}$、$\mathrm{l}\mathrm{o}$、$\mathrm{a}\mathrm{o}$、$\mathrm{n}\mathrm{o}$、$\mathrm{i}\mathrm{o}$、$\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{q}$、$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{q}$、$\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{o}$、$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}$、$\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{o}$。

  请问对于以下字符串（共 $200$ 个小写英文字母，分四行显示）：（如果你把以下文字复制到文本文件中，请务必检查复制的内容是否与文档中的一致。在试题目录下有一个文件 inc.txt，内容与下面的文本相同）

tocyjkdzcieoiodfpbgcncsrjbhmugdnojjddhllnofawllbhf
iadgdcdjstemphmnjihecoapdjjrprrqnhgccevdarufmliqij
gihhfgdcmxvicfauachlifhafpdccfseflcdgjncadfclvfmad
vrnaaahahndsikzssoywakgnfjjaihtniptwoulxbaeqkqhfwl

  本质不同的递增子序列有多少个？

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【答案提交】

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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动态规划

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  首先考虑上升子序列问题，即子串可以相同的情况。

  设 $f_i$ 为以字符串 $S[1,n]$ 第 $i$ 个字符结尾的最长递增子序列的个数，则总个数为 ${\sum }_{i=1}^n{f}_i$，状态转移方程为 $f_i={\sum }_{j=1}^{i-1}{f}_j(S[i]>S[j])$。

  为了避免出现重复子串，考虑互斥的划分方式，

  有状态 $f_{i,c}$ 表示到第 $i$ 个字符为止，以 $c$ 结尾的本质不同子串的个数为多少，显然答案为 ${\sum }_c{f}_{n,c}$。

  可是如何保证不重不漏呢？

  对于 $c\ne S[i]$，显然有 $f_{i,c}=f_{i-1,c}$，而对于 $c=S[i]$ 的情况，考虑重新统计即 $f_{i,c}={\sum }_{c^{\prime }=1}^{c-1}{f}_{i-1,c^{\prime }}$，不重是做到了，即可不重不漏。

   证明半天证明了一坨屎，其实可以用反证法，但反证太无聊了。

#include <iostream>

std::string s = "$", buf;

int dp[0xff], ans;

int main() {
   
    freopen("inc.txt", "r", stdin);
    while (std::cin >> buf) s += buf;
    for (int i = 1; i <= 200; ++i) {
   
        ans -= dp[s[i]], dp[s[i]] = 1;
        for (int j = s[i] - 1; j >= 'a'; --j) dp[s[i]] += dp[j];
        ans += dp[s[i]];
    }
    printf("%d", ans);
}

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试题 D: 咫尺天涯

本题总分：$10$ 分

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【问题描述】

  皮亚诺曲线是一条平面内的曲线。

  下图给出了皮亚诺曲线的 $1$ 阶情形，它是从左下角出发，经过一个 $3\times 3$ 的方格中的每一个格子，最终到达右上角的一条曲线。

  设每个格子的边长为 $1$，在上图中，有的相邻的方格（四相邻）在皮亚诺曲线中也是相邻的，在皮亚诺曲线上的距离是 $1$，有的相邻的方格在皮亚诺曲线中不相邻，距离大于 $1$。

  例如，正中间方格的上下两格都与它在皮亚诺曲线上相邻，距离为 $1$，左右两格都与它在皮亚诺曲线上不相邻，距离为 $3$。

  下图给出了皮亚诺曲线的 $2$ 阶情形，它是经过一个 $3^2\times 3^2$ 的方格中的每一个格子的一条曲线。它是将 $1$ 阶曲线的每个方格由 $1$ 阶曲线替换而成。

  下图给出了皮亚诺曲线的 $3$ 阶情形，它是经过一个 $3^3\times 3^3$ 的方格中的每一个格子的一条曲线。它是将 $2$ 阶曲线的每个方格由 $1$ 阶曲线替换而成。

  皮亚诺曲线总是从左下角开始出发，最终到达右上角。

  小蓝对于相邻的方格在皮亚诺曲线上的相邻关系很好奇，他想知道相邻的方格在曲线上的距离之和是多少。

  例如，对于 $1$ 阶皮亚诺曲线，距离和是 $24$，有 $8$ 对相邻的方格距离为 $1$，$2$ 对相邻的方格距离为 $3$，$2$ 对相邻的方格距离为 $5$。

  再如，对于 $2$ 阶皮亚诺曲线，距离和是 $816$。

  请求出对于 $12$ 阶皮亚诺曲线，距离和是多少。

  提示：答案不超过 $10^{18}$。

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【答案提交】

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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184731576397539360

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动态规划

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  首先考虑分形问题，但是 $3^{12}\times 3^{12}$ 的曲线中，相邻的格子对有 $2\times 3^{12}\times (3^{12}-1)$ 个，复杂度爆炸。

  于是考虑动态规划，为此需要选择一些合适的属性来表述状态，合适的策略来完成转移。

  容易想到按阶划分，即将一个 $k$ 阶的皮亚诺曲线划分为 $3^3$ 个 $k-1$ 的皮亚诺曲线，而 $k-1$ 阶曲线内部相邻块的距离不受其余同阶曲线的影响，固有状态 $f_i$ 表示 $i$ 阶皮亚诺曲线的距离合，$f_i=3^3{f}_{i-1}+I_i$，$I_i$ 表示 k − 1 k - 1