二分查找以及序列的二段性-优快云博客

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本文详细介绍了二分查找的基本原理和不同变体，包括寻找序列中第一个大于、大于等于、小于、小于等于特定值的元素的下标。通过实例展示了如何避免二分查找的常见错误，并给出了cpp标准库中lower_bound和upper_bound函数的使用方法。同时，文章探讨了二分查找在不同区间上的应用，以及如何处理可能导致死循环的情况，帮助读者深入理解并正确实现二分查找算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

二分查找模板

以下程序，需给定一个单调不下降整形数组A，整形变量l、r、v，程序保证返回值i落于闭区间 [l $,$ r] 中。

假定 [l $,$ r] 中一定存在一个 i，

i满足A[i]<v且i最小 (即序列A的左端点)：return l;

i满足A[i]<v且i最大 (即v在A中的前驱)：

while (l < r) {
   
    int mid = l + r + 1 >> 1;
    if (A[mid] < v) l = mid; else r = mid - 1;
}
return l;

i满足A[i]≤v且i最小 (即序列A的左端点)：return l;

i满足A[i]≤v且i最大 (即v或v的前驱)：

while (l < r) {
   
    int mid = l + r + 1 >> 1;
    if (A[mid] <= v) l = mid; else r = mid - 1;
}
return l;

i满足A[i]>v且i最小 (即v在A中的后继)：

while (l < r) {
   
    int mid = l + r >> 1;
    if (A[mid] > v) r = mid; else l = mid + 1;
}
return l;

i满足A[i]>v且i最大 (即序列A的右端点)：return r;

i满足A[i]≥v且i最小 (即v或v的后继)：

while (l < r) {
   
    int mid = l + r >> 1;
    if (A[mid] >= v) r = mid; else l = mid + 1;
}
return l;

i满足A[i]≥v且i最大 (即序列A的右端点)：return r;

可能的实现

#include <algorithm>

template<class itr, class T>
itr lower_bound(itr first, itr last, const T &value){
   
    while (std::distance(first, last)) {
   
        itr mid = first;
        std::advance(mid, std::distance(first, last) / 2);
        if (*mid < value)
            first = ++mid;
        else last = mid;
    }
    return first;
}

#include <algorithm>

template<class itr, class T>
itr upper_bound(itr first, itr last, const T &value){
   
    while (std::distance(first, last)) {
   
        itr mid = first;
        std::advance(mid, std::distance(first, last) / 2);
        if (!(value < *mid))
            first = ++mid;
        else last = mid;
    }
    return first;
}

二分查找

^Binary ^Search

本文意在一举解决读者可能遇到的：

1. 写出错误的二分查找
2. 不知道如何使用二分查找

等一系列与二分法相关的可能的问题。当然，笔者能力有限，如有不足，望海涵。

问题引入

^leading-in

给定长度为 $n$ 的上升序列 $A$ ，即 $A$ 中任意一对元素 $a_i,a_j$ ， $i < j$ 都满足 $a_i < a_j$ ，现在有 $T$ 个询问，每个询问都会给出一个整数 $b$ ，你需要回答 $b$ 在 $A$ 当中的位置，若 $\not\in A$ ，则回答 $- 1$ 。