唯一分解定理与lcm，gcd的关系（LightOJ1236-Pairs Forming LCM）

原创于 2021-07-30 10:05:04 发布 · 146 阅读

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该博客介绍了一种编程方法来计算从1到n中满足其最小公倍数为n的整数对(a, b)的数量。通过质因数分解和数学分析，博主给出了一个高效的解决方案，并提供了C++代码实现。

题目大意：给一个n，求1到n里有多少对a,b满足a,b的最小公倍数是n。

网上找了个证明，写的比较清楚明白。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e7+10;
typedef long long ll;

ll T,N;
ll P[1000010],tail; //1e7之前只有不到1e6的质数，所以这里1e6的空间就够了
bool vis[maxn];//判断是否是质数需要1e7的空间

void init(){
    ll len = (ll)sqrt(maxn)+1;
    for(int i = 2;i<=len;i++){
        if(!vis[i]){
            for(int j = i*i;j<maxn;j+=i){
                vis[j] = true;
            }
        }
    }
    for(int i = 2;i<maxn;i++){
        if(!vis[i]) P[tail++] = i;
    }
}

ll solve(ll x){
    ll sum = 1;
    for(int i = 0;i<tail && P[i]*P[i]<=x;i++){
        if(x%P[i] == 0){
            int cnt = 0;
            while(x%P[i] == 0){
                cnt++;
                x/=P[i];
            }
            sum *= 2*(cnt+1)-1;
        }
    }
    if(x>1) sum *= 2*(1+1)-1;
    return sum/2+1;
}

int main(){
    init();
    cin>>T;
    int kase = 0;
    while(T--){
        scanf("%lld",&N);
        printf("Case %d: %lld\n",++kase,solve(N));
    }
    return 0;
}