近世代数--整环上的唯一分解问题--唯一分解整环上有算术分解定理

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

• $D$是整环
• $F$是整环的商域
• $U$是整环的单位群，单位群是所有单位（可逆元）关于乘法构成的群

引出唯一分解整环

我们知道，在整数环$Z$中，有算术分解定理：不考虑因子次序，任何大于1的正整数都可唯一分解为素数的乘积，

整数环有唯一分解的性质，那么能否推广到整环上呢？如果不是，在什么限制条件下，可以推广到整环上呢？

唯一分解整环：unique factorization domain,UFD

几个概念。

• 因子divisor：$D$是整环，$a,b\in D,$若$\exists c\in D,$使得$a=bc,$则$b$是$a$的因子。最大公因子：$d=gcd(a,b)$
• 真因子proper divisor：显然，单位$u\in U,\in D,u,au$是$a$的因子($a=u(u^{-1}a),a=(au)u^{-1}$)，称$u,au$是$a$的平凡因子。$a$的非平凡因子，称为$a$的真因子。
• 不可约元irreducible element：整环$D$中，非零元，非单位，无真因子的元素称为$D$的不可约元。
• 素元prime element：$p\in D,p$非零元，非单位$,\forall a,b\in D,p\mid ab\to p\mid a$或$p\mid b$，则$p$为$D$的素元。
• 相伴

构造唯一分解整环UFD

$D$为整环，$a\in D,a\ne 0,a\notin U,$

• 元素有唯一分解：

  • $a$可分解为有限多个不可约元的乘积：$a=p_1{p}_2\dots p_s$

  • 上述分解在相伴的意义下是唯一的，即如果$a$有两种不可约分解，

    $a=p_1{p}_2\dots p_s=q_1{q}_2\dots q_t$，则
    $s=t,$交换因子次序会有$p_i\sim q_i,i=1,2,\dots s$

  则称$a$有唯一分解。

唯一分解整环：如果$D$中所有非零非单位元的元素都有唯一分解，则称$D$为唯一分解整环，记作UFD。

整环是唯一分解整环的充分必要条件

整环是唯一分解整环$$\begin{gathered} \leftrightarrow \\ 1. \end{gathered}$$每个不可约元都是素元$2.$每一个真因子链都是有限的

整环是唯一分解整环$\to$每个不可约元都是素元

• 在整环中，每个素元都是不可约元

  证明：$p=ab\to p\sim a,b\in U$或$p\sim b,a\in U$
  设$p\in D,p$为素元，

  • 如果$$\begin{gathered} p=ab \\ \to p\mid ab \\ \to p\mid a \end{gathered}$$或$p\mid b$
    • 假设$p\mid a$