抽象代数中的一些基本定义/整环/整区/Gauss整区/UFD

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抓住一只白嫖怪(｀・ω・´)

本文介绍了数学中的基本概念——整环，它是指没有零因子的环。进一步讨论了含恒等元的交换整环，即整区，以及在整环中具有唯一分解性质的Gauss整区。这些理论是数论和代数的基础，对于理解数学的深层结构至关重要。

整环：无零因子的环叫做整环
整区：含恒等元的交换整环叫做整区
Gauss整区：即为唯一分解环 UFD

线性代数导引：多项式整环
AI天才研究院
06-20 1314
1.背景介绍 线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间、线性变换、矩阵等概念及其相互关系。在计算机科学领域，线性代数被广泛应用于图形学、机器学习、数据挖掘等领域。其中，多项式整环是线性代数中的一个重要概念，它在代数几何、代数数论、编码理论等领域中都有广泛应用。 本文将介绍多项式整环的核心概念、算法原理、数学模型和公式、项目实践、实际
近世代数--整环上的唯一分解问题--唯一分解整环中元素的标准分解式
qq_41545715的博客
12-31 1805
近世代数--整环上的唯一分解问题--唯一分解整环中元素的标准分解式 博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。 我整理成一个系列：近世代数，方便检索。 ...
抽象代数学习笔记（15）环
weixin_30363509的博客
03-04 1046
定义：设集合\(R\)上有两种二元运算，一个叫加法，记为\(+\);一个叫乘法，记为\(*\)，且\((R,+)\)是个交换群；乘法\(*\)在\(R\)上是结合的；对任意\(a,b,c\in R\)，都有\(a*(b+c)=a*b+a*c,(b+c)*a=b*a+c*a\)，则说\((R,+,*)\)是个结合环，简单地，说它是个环。 例如：整数集，有理数集，复数集在相应的运算下分别是个环。 ...
抽象代数入门（二）
AugustMoore的博客
07-02 1893
Field(域) Dfn: ”Field“ is a commutative ring, s.t. every non-zero element has inverse. 这个交换环对于乘法和加法都满足交换性，而且对于所有非零元素都存在逆。 对加法逆，即 对乘法逆，即 这两个都满足，u是对应元素的逆。加法的逆写成-v, 乘法的逆写成都是可以的，都是符号表示。 Polynomials o...
抽象代数基本概念（一）：代数系
qq_43116414的博客
03-12 2393
代数系：           \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,设“◦”是非空集合S 上的一个二元代数运算，则称二元组(S， ◦) 为一个（有一个代数运算的）代数系。 一、集合上的二元运算 定义： 二元运算的定义：           \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,设X 是一个集合，一个从X与X的笛卡尔积 到X 的一个映射φ 称为X上的一个二元代数运算。 两个基本性质：...
代数基本定义
陌雨’的博客
10-22 3571
代数基本定义一般线性群特殊线性群阶i 次单位根群周期群，无扭群，混合群子群中心元素，无中心群，中心循环群循环群，生成元 一般线性群 GLn(k)GL_n(k)GLn​(k)：数域FFF上所有nnn阶可逆矩阵的集合，关于矩阵的乘法作成群，这个群叫做一般线性群，当n>1n>1n>1时，这个群不是交换群 特殊线性群 SLn(K)SL_n(K)SLn​(K)：数域FFF上所有行列式等于 111 的 nnn 阶矩阵的集合，则 SLn(F)SL_n(F)SLn​(F) 关于矩阵的乘法作成群，这个群叫做
抽象代数基础 环论(1)
Myriad Dreamin 愿逐将属于我的奇迹
09-04 1860
首先一个环乘法满足半群的性质: 1.封闭 2.满足结合律 其次一个环加法满足阿贝尔群的性质: 若环乘法满足交换律,半群含幺,称其为交换环. 若交换环满足乘法消去律,称其为整环. Example RExample R\text{Example } R是整环,找出两个函数f,g∈I(R),f≢0,g≢0f,g∈I(R),f≢0,g≢0f,g\in I(R),f\no...
抽象代数 [王颖，南基洙 编著] 2013年版
05-16
　《高等学校教材：抽象代数》介绍了抽象代数学中最基本的内容，共4章。第一章介绍了等价关系、分类和代数系统等预备知识，第二章至第四章则分别介绍了群、环、域和伽罗瓦（Galois）理论等。在每一章的末尾，还简述...
2019—2020第一学期数学学院《抽象代数》期末考试1
08-04
《2019—2020第一学期数学学院《抽象代数》期末考试1》是一场测试学生对抽象代数基本概念、理论及其应用掌握程度的考试。命题人为王秀玲，本试题涵盖了几大核心主题，包括环的性质、理想的性质、群的结构、域的扩张...
抽象代数期末试卷题目1
最新发布
11-28
在抽象代数的范畴内，期末试卷题目通常涉及多个核心概念和定理的证明，要求学生具备扎实的数学基础和抽象思维能力。本次试卷题目聚焦于群论中的几个重要问题，包括群的子群结构、正规子群的性质、循环群的判定以及商...
抽象代数 历届试题1
08-03
在抽象代数中，多项式环是一个非常重要的概念，它由整环R中的系数与变量x进行线性组合形成。可以证明，如果R是整环，那么R[x]也是一个整环，因为它满足整环的定义，包括封闭性、加法和乘法的结合律以及存在单位元...
离散数学 第十六章 环和域
xiaoxiao20020505的博客
03-06 7547
目录 16.1 环的定义及其性质 16.2 整环和域 16.1 环的定义及其性质 定义：一个代数系统，如果满足： （1）是阿贝尔群；——>群+交换 （2）是半群；——>封闭，可结合 （3）乘法在加法+上可分配。即对有 则称是一个环。 ※是环，称为模k剩余类环 k=2——>布尔环 定理：（移向法则）设是一个环，θ是加法幺元，对有： a+b=c<=>a+b-c=θ ...
5-9 环与域
tang7mj的博客
11-27 3457
加法阿贝尔群：环中的加法运算满足交换律和结合律，存在加法单位元（通常为0），并且每个元素有加法逆元（负元素）。乘法半群：环中的乘法运算满足结合律，但不要求存在乘法单位元（1），也不要求乘法运算是可交换的。分配律：环中的乘法运算对加法运算是可分配的，即对于环中的任意元素 a,b,c，满足 a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c 和 (b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a。这些性质共同构成了环的定义，并为环的进一步研究提供了基础。在数学文献中，环的定义是广泛接受的，并用作研究更复杂数学结构（如域、向量空间等）的基础。
近世代数 笔记与题型连载 第十三章（环与域）
hanmo22357的博客
05-15 6969
基本概念两种单位元和两种逆元基本性质域的定义域与环的关系域一定是整环。有限整环一定是域。
体、域的基本概念
Ehco00x0的博客
04-08 2736
体域的定义和例子体、域的定义和例子定义： 设D是含有至少两个元素的幺环.如果D的每个非零元素都可逆，则称D是一个体，具有乘法交换律的体称为域 “至少两个元素”等价于”1不等于0”有理数域Q、实数域R、复数域C都是熟知的域有理数域Q、实数域R、复数域C都是熟知的域 F⊆E,F和E都是域F\subseteq E,F和E都是域，则称F是E的子域，E是F的扩域
【静夜思】一些抽象代数的核心思想和实际应用
MinCong Luo的博客
08-12 8268
一些<<抽象代数>>的核心思想和实际应用(持续更新) 抽象代数是现代代数的基础,以其晦涩和高度概括性而著称,如果介绍一些它的实际应用和核心思想,会对大家学习有所裨益.本文的特点是形散(采自网络)而神不散(主题明确). 核心思想 作者：Yuhang Liu 抽象代数其实起源于数论。很多重要的概念，比如环、理想，都来自于数论的研究。比如理想，一开始是数论学家研究费...
代数-抽象代数
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Jack Zhou的专栏
10-23 2万+
1. 集合论基础 （1）等价关系：集合X上的二元关系定义为的一个子集。如果它还满足反身性、对称性、传递性，则为等价关系。 商集：X的全体等价类构成的集合， （2）笛卡尔积的一般定义：笛卡尔积中的每个元素实际上都对应一个函数，这个函数定义为。因此集族的笛卡尔积定义为下标函数的集合 （3）偏序集：集合上P附加一个偏序关系，即满足反身性、传递性、反对称性的二元关系，记作。 偏序集的同构：偏...
环的进化图
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06-05 755
学习了各种各样的乱七八糟的环，现在也弄不清楚到底是什么环是什么环了，如果还不来个整理，估计这些日子的努力就要白费了。1.R(环):普通的环，{R,+}为加法交换群,{R,*}为乘法半群,乘法对加法满足分配律2.D(整环):含么交换无零因子环3.ND(Noether整环):含幺,每个理想都是有限生成4.DD(Dedekind整环):ND,非零素理想是极大理想,整闭5.UFD(唯一分
近世代数--整环--高斯整环
qq_41545715的博客
12-15 8655
近世代数--整环--高斯整环 博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。 高斯整环是一类重要的整环，高斯(Gauss)最先对这个环进行研究，从而开创了代数数论的研究领域。 这里有简单描述整环的基本概念。 ...
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