三种求解逆元的方法【扩欧，费马小定理，线性筛】

chhokmah...

于 2019-04-15 22:59:33 发布

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分类专栏：学习笔记文章标签：逆元扩展欧几里得费马小定理线性筛

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本文深入解析了逆元的概念及其在模运算中的应用，详细介绍了三种逆元计算方法：扩展欧拉定理、费马小定理及线性公式，并提供了相应的代码实现。

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逆元

为了解决像这一种问题 $abmod  p\frac ab \mod p$ 的问题，常常是无法正常的取模的。
所以这个时候就用到了逆元。
什么意思？
设 $d$ 为 $b$ 在 $mod  p\mod p$ 意义下的逆元，那么就可以是除法变成加法。
说的再明白一点就是 $abmod  p=(a×d)mod  p\frac ab \mod p = (a \times d) \mod p$ ，而在乘法运算中可以随便膜，那么就膜去吧。

逆元的计算方法

以下的代码都是 $a$ 关于膜 $p$ 的逆元。

方法A-扩展欧拉定理 $e x g c d$

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
	if (!b) { x = 1; y = 0; return a; }
	ll d = exgcd(b, a % b, x, y), z = x; x = y; y = z - y * a / b; 
	return d; 
}
ll inv(ll a, ll p) {
	ll x, y, d = exgcd(a, b, x, y);
	return (x % p + p) % p;  
}

方法B-费马小定理

适用于模数为素数

void power(ll x, ll y, ll MOD) {
	ll res = 1; x %= MOD; 
	for (; y; y >>= 1) { if (y & 1) res = (res * x) % MOD; x = (x * x) % MOD; }
	return res; 
}
ll inv(ll a, ll p) { return power(a, p - 2, p); }

方法C-线性公式

inv[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i ++) inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;