费马小定理与逆元

费马小定理

假设p是质数，a是整数，且a与p互质，那么，a的（p-1）次方除以p的余数恒为1，即a^(p-1) ≡ 1（mod p）。

简单表示即

if(p is prime number &&gcd(a,p) == 1)
       pow(a,p-1)%p == 1 (true);

同余证法

假设p等于质数13，取整数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，让它们同时乘以与13互质的数，如3，得3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36，再同时余13，得3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10，可得这些从1--12都有，只是顺序不同。

从上面可得，对于质数p，他的所有余数乘以与p互质的数，整体不变，只是顺序改变。

可用反证法证明：（自己想的，不知道对不对）

设质数p的所有余数为a1,a2,a3...a(p-1)，使i，j∈[1,p-1]且i ≠ j，那么取一个整数c与p互质

假设c * ai  ≡ c * aj (mod p)， 可化为(c mod p) * (ai mod p)  ≡ (c mod p) * (aj mod p)   (mod p)。

因为c与p互质，所以c mod p 不等于0，可以同时去掉 (c mod p)，得ai ≡ aj（mod p），这显然不符合题意，证毕。

好了，继续上面的例子

使1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12相乘，得12的阶乘12!

使3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36相乘，取出其中的公因数3，得3^12 * 12!

联立可得

3^12 * 12! ≡ 12! (