三维直角坐标系旋转相关问题-欧拉旋转角与旋转矩阵的关系

欧拉角定义：

在刚体运动学中常用欧拉角作为刚体绕固定轴旋转的描述。引入的三个角度（α，β，γ）

欧拉旋转可以通过一定的顺序组合来实现，目前组合方式一共分为24种方案，统一被称为转角排列设定法，12种称为固定角，另外12种为欧拉设定法，本文重点讲解一种目前流行的欧拉设定方式：Z-Y-X欧拉旋转，如果对其他的方法感兴趣，后期我再单独更新。

Z-Y-X欧拉角：把坐标{A}和坐标{B}重合，把{B}绕Z旋转α角度，{B}再绕Y旋转β角度，最后{B}再绕X旋转γ角度，这种表示的方法，每次都是绕着运动{B}坐标的各个轴进行运动，而不是绕{A}固定轴。

欧拉角转化为旋转矩阵：

任何旋转可以通过绕着三个轴分别旋转三个角度得到，组合起来就是一个旋转矩阵。以下分别是绕着Z-Y-X 轴旋转的三个旋转矩阵。

综合上述即可得到{B}相对于{A}得最终旋转姿态（Z-Y-X）：

万向锁问题

在使用欧拉角表示旋转时，可能会遇到万向锁（gimbal lock）问题

【 关于死锁问题的详细介绍可以参考如下文章：有了欧拉角，为什么还要引入四元数？欧拉旋转方式与万向节死锁问题-优快云博客】

当两个旋转轴重合时，物体的旋转自由度会降低，导致无法表示一些旋转。这种情况下，可以通过调整欧拉角序列或使用其他表示旋转的方法（如四元数）来解决。

我们也可以以下公式来证明，

若绕X 旋转角度为90度，则上式变为：

此时，旋转自由度变为2。

欧拉角与四元数之间的转换

一个旋转对应的四元数的表示是唯一的，但对应的欧拉角会因定义的不同而不同，因此在转换时一定要弄清楚自己的目标欧拉角是如何定义的。

欧拉角的转换代码可以参考：C++实现四元数和欧拉角之间的相互转化_c++实现四元数转欧拉角-优快云博客