人工神经网络与梯度下降法

1 人工神经网络

人工神经网络（Artificial Neural Networks, ANN）是模拟生物神经元结构的计算模型，它模仿了大脑处理信息的基本方式。人工神经网络是由大量的简单处理单元——即“神经元”——组成的网络，这些神经元通过连接权重进行交互，并能够对输入数据进行复杂的非线性变换。

1.1 工作原理

人工神经网络通过调整连接权重来学习数据中的模式。这个过程通常涉及以下几个步骤：

1. 前向传播：输入数据通过网络向前传递，从输入层到输出层，经过一系列的加权和激活操作。
2. 损失计算：输出层产生的结果与实际目标进行比较，得到一个误差度量，称为损失函数。
3. 反向传播：通过计算损失函数相对于每个权重的梯度，然后根据这个梯度调整权重，以减小损失。
4. 优化算法：如梯度下降等方法用于更新权重，目的是最小化损失函数。

1.2 人工神经网络的组成

1. 神经元（Neuron）：是神经网络的基本单元，类似于生物神经元的结构。
2. 输入层（Input Layer）：接收外部输入数据。
3. 隐藏层（Hidden Layer）：一个或多个，负责处理输入层传来的数据，并进行非线性变换。
4. 输出层（Output Layer）：输出最终结果。

1.3 数学原理

1. 权重（Weight）：每个神经元之间的连接都有一个权重，表示连接的强度。
2. 偏置（Bias）：每个神经元都有一个偏置，用于调整输出值。
3. 激活函数（Activation Function）：用于引入非线性因素，常见的激活函数有Sigmoid、ReLU等。
   以下是神经网络的基本数学原理：

1.3.1 前向传播（Forward Propagation）

单个神经元示意图：

对于一个简单的神经元，其输出计算公式为：
$$a=\sigma (\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+b)$$
其中：

• $a$：神经元的输出
• $\sigma$：激活函数
• $w_i$：第$i$个输入的权重
• $x_i$：第$i$个输入
• $b$：偏置
  对于多层神经网络，前向传播的过程可以表示为：
  $$z^{[l]}=W^{[l]}{a}^{[l-1]}+b^{[l]}$$
  $$a^{[l]}=\sigma (z^{[l]})$$
  其中：
• $z^{[l]}$：第$l$层的线性组合
• $W^{[l]}$：第$l$层的权重矩阵
• $a^{[l-1]}$：第$l-1$层的输出
• $b^{[l]}$：第$l$层的偏置
• $a^{[l]}$：第$l$层的输出

1.3.2 激活函数示例

Sigmoid函数：
$$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$
ReLU函数：
$$\text{ReLU}(z)=\max (0,z)$$

1.4 简单示例

假设我们有一个简单的神经网络，只有一个输入层、一个隐藏层和一个输出层。输入层有一个神经元，隐藏层有两个神经元，输出层有一个神经元。激活函数使用Sigmoid。

输入层到隐藏层的计算

设输入为$x$，隐藏层两个神经元的权重分别为$w_1$和$w_2$，偏置分别为$b_1$和$b_2$，则隐藏层的输出为：
$$z_1=w_{1}x+b_1$$
$$a_1=\sigma (z_1)$$
$$z_2=w_{2}x+b_2$$
$$a_2=\sigma (z_2)$$

隐藏层到输出层的计算

设隐藏层到输出层的权重分别为$v_1$和$v_2$，偏置为$c$，则输出层的输出为：
$$z_{\text{out}}=v_1{a}_1+v_2{a}_2+c$$
$$a_{\text{out}}=\sigma (z_{\text{out}})$$
这就是一个简单的人工神经网络的数学原理和计算过程。在实际应用中，神经网络的结构和参数需要通过训练数据来学习得到。
如图：

由上图我们约定以下表示。a1、a2、h1、h2…代表神经元的名字。
$a{1}_i$代表a1神经元的输入，$a{1}_o$代表a1神经元的输出。
a1与a2代表输入层，通常情况下输入层通常不包含权重和激活函数，它仅仅接收数据。
2与3是当前神经网络的输入。当2输入到a1神经元后即$a{1}_i=2$，由于a1是输入层神经元，从而变成$$a{1}_o=a{1}_i=2$$
当3输入到神经元后，同理，从而变成$$a{2}_o=a{2}_i=3$$
此时神经元分别输出$a{1}_o$ 、$a{2}_o$。
从图中我们可以看出，$a{1}_o$ 、$a{2}_o$首先会作为隐藏层（中间那一列的神经元）的输入。
对于隐藏层神经元我们可以得到
$h{1}_i=a{1}_o\ast 1+a{2}_o\ast 2$
$h{1}_o=\sigma (h{1}_i+b)$
$h{2}_i=a{1}_o\ast 2+a{2}_o\ast 3$
$h{2}_o=\sigma ((h{2}_i+b)+b)$
…
注意
在通常情况下，输入层通常不包含权重和激活函数，它的主要功能是接收外部输入数据并将其传递给网络的下一层次，即隐藏层。输入层的节点（或称为神经元）只是简单地持有输入数据的值，并没有进行任何计算或变换。
思考
1、你可以把其它几个神经元的输入输出写出来了吗？
2、我们如何用计算机能看懂的方式去实现计算呢？

输入层定义

给定输入向量 $\mathbf{x}=[x_1$