简单的动态规划——以LeetCode746. 使用最小花费爬楼梯为例（c++）

题目

数组的每个索引作为一个阶梯，第 i个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i](索引从0开始)
每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力花费值，然后你可以选择继续爬一个阶梯或者爬两个阶梯。
您需要找到达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从索引为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。
示例 1:
输入: cost = [10, 15, 20]
输出: 15
解释: 最低花费是从cost[1]开始，然后走两步即可到阶梯顶，一共花费15。

示例 2:
输入: cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
输出: 6
解释: 最低花费方式是从cost[0]开始，逐个经过那些1，跳过cost[3]，一共花费6。
注意：
cost 的长度将会在 [2, 1000]。
每一个 cost[i] 将会是一个Integer类型，范围为 [0, 999]。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/min-cost-climbing-stairs
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题目分析

1. 对应数组索引，阶梯以-1为底，以cost.size()为顶，站在底和顶无花费。
2. cost代表踏上了阶梯的花费，即跨过无花费。
3. 每次可以踏上当前索引+1或+2的台阶。

从暴力思路扭转到正确思路

题目要求找到最少的花费，第一反应就是，每一步能都能有两个选择（踏上+1或踏上+2），那么有2^(n-1)种选择。当然看到这个次方我就发现不对了，知道动态规划的大概思想，也知道应该用动态规划，但又退不出这个思路。今天貌似找到了这种思路最关键的错误，因为

“2^(n-1)，这是每个选择独立的情况”

但是，这个问题中每次选择带来的花费，其实是和之前所有选择有关的。
实际上正确思路的关键在于，

“为了到达楼梯的任意位置，一定会有唯一的最少花费”

而如果说“任意位置”看起来就不好算，那么到达楼梯的索引3，一定是最好算的，很明显为了到达3，我们的最少花费是

 M[3] = min(cost[1] , cost[2])

真的不能再简单了，不过里面有两个隐含的条件：

1. 站在-1是无花费的
2. 这个花费是踏上3之前的，或3就是顶了（无花费）

那么如果把这两个隐含条件表示出来，一路踏上3的最少花费为

 M[3] = cost[3] + min(cost[1]+0 , cost[2]+0)

把“0”看作之前的花费，抽象下就是

M[n] = cost[n] + min(cost[n-1] + n-1(之前的花费) , cost[n-2] + n-2(之前的花费))

其实这样就很明显了，因为“之前的花费 ”无论有多少种可能，最少的花费一定是唯一的。

M[n] = cost[n] + min(cost[n-1] + n-1(之前的最少花费) , cost[n-2] + n-2之前的最少花费)
cost[n-1] + n-1之前的最少花费 = M[n-1]
//因此
	
M[n] = cost[n] + min(M[n-1] , M[n-2])

题解

一个简单的题解

int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {        

	vector<int> M(cost.begin(),cost.begin()+2);        
	
	for(int i = 2;i<static_cast<int>(cost.size());i++)        
	{            
		M.push_back(cost[i] + min(M[i-1] , M[i-2]));        
	}        
	
	return min(M[cost.size()-1],M[cost.size()-2]);    
}

不过其实这道题应该用不着另外一个数组保存

int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {

        for(int i = 2;i<static_cast<int>(cost.size());i++)
        {            
                cost[i] = cost[i] + min(cost[i-1] , cost[i-2]);        
        }        
        
        return min(cost[cost.size()-1],cost[cost.size()-2]);    
}

这样更快更小一些

总结

1. 可以把问题看作有始无终的，关注具体的一个情况。对我来说，比起“某个”，第一个要好接受得多。
2. 貌似和高中找递推公式区别不大，越写越觉得像在写高中的大题，可能区别在于，min()这种操作高中好像很少用吧。