算法沉淀 —— 动态规划篇（斐波那契数列模型）

前言

几乎所有的动态规划问题大致可分为以下5个步骤，后续所有问题分析都将基于此

• 1.、状态表示：通常状态表示分为基本分为以下两种，其中更是以第一种为甚。

  • 以i为结尾，dp[i] 表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）
  • 以i为开始，dp[i]表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）

• 2、状态转移方程
  *以上述的dp[i]意义为以i位置为分界， 通过最近一步来分析和划分问题，由此来得到一个有关dp[i]的状态转移方程。

• 3、dp表创建，初始化

  • 动态规划问题中，如果直接使用状态转移方程通常会伴随着越界访问等风险，所以一般需要初始化。而初始化最重要的两个注意事项便是：保证后续结果正确，不受初始值影响；下标的映射关系。
  • 而初始化一般分为以下两种：
    • 直接初始化开头的几个值。
    • 一维空间大小+1，下标从1开始；二维增加一行/一列。

• 4、填dp表、填表顺序：根据状态转移方程来确定填表顺序。

• 5、确定返回值

一、第 N 个泰波那契数

【题目链接】：1137. 第 N 个泰波那契数
【题目】：

【分析】：
 题目要第n个斐波那契数，我们令dp[i]表示第i个斐波那契数。题目中以及给出了状态转移方程:dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] +dp[i-3]。但我们发现当i为0、1、2时显然状态转移方程错误，还会越界访问。所以我们仅需将前3个元素特殊处理，然后在从下标2开始填dp表。最后返回结果即可！
【代码实现】：

class Solution {
   
public:
    int tribonacci(int n) {
   
        if(n == 0)
            return 0;
        else if(n == 1 || n == 2)
            return 1;
        //创建dp表
        vector<int> dp(n + 1);
        //初始化
        dp[0] = 0, dp[1] = dp[2] = 1;
        //填表
        for(int i = 3; i <= n; i++) 
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2