MIT线性代数：2.矩阵消元

1.消元法

本课的核心是矩阵变化，也就是矩阵乘法

1.1消元

同样是矩阵表示系数

确定主元（0不能为主元），主元下方的元素消成0，例（2,1）过程，第二行减去三倍的第一行（相当于方程组第二个方程减去三倍的第一个方程），把（2,1）的值消成0，进而确定了（2,2）的元素为主元，同理第三行减去两倍的第二行把（3,2）消成0。消完元的矩阵称为U。

消元法失效的情况：当主元上为 0 时，就通过交换行将主元位置变为非 0，当通过交换行还不能解决 0 主元的时候，消元法就失效了。（不能解决 0 主元的矩阵是不可逆矩阵）。

1.2回代

把右侧b（也就是方程组的值）代入，该矩阵就叫增广矩阵。对应的消元完称为c。

回代步骤简单，把消元完的矩阵U，c带到原方程中，解得结果的过程叫回代。

2.消元矩阵

2.1消元基础

接下来用矩阵的形式进行消元：

矩阵右乘一列向量结果也是一列向量，

矩阵左乘一行向量，结果也为一行向量。

2.2消元矩阵（第一步）

矩阵乘以单位矩阵等于本身，上述变换针对的是（2,1）位置的值（要把它置为0），保留A的第一行与第三行不变，第二行减去三倍第一行，则根据矩阵乘法，则初等矩阵（E）的第二行就是（-3,1,0），进行-3*（1,2,1）+1*（3,8,1）+0*（0,4,1）的计算

达到了一个消元的作用。

2.3消元矩阵（第二步）

根据上述第一步的方法和结果，进行下一步的消元。

最后可以用这样的一个等式来描述矩阵消元的步骤，可以使用结合律但是不能使用交换律，因为矩阵左乘和右乘是有区别的。

2.4置换矩阵

2.4.1行交换

利用矩阵乘法进行行交换（左乘一个矩阵）

2.4.2列交换

利用矩阵乘法进行列交换（右乘一个矩阵）

置换矩阵用P（permutation）表示。

3.逆矩阵开题

结合上述例子逆矩阵就是下图右边的E可以使A变换成U，那么下图左边的E^-1就可以使U变回A。

E^-1*E=I（单位矩阵），则称E^-1和E互为逆矩阵