MIT-线性代数笔记2-矩阵消元

最新推荐文章于 2024-02-14 20:01:23 发布

一心啊~~

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分类专栏： MIT线性代数数学基础文章标签：线性代数

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本文详细介绍了线性方程组的高斯消元法，包括消元、回代、消元矩阵和置换矩阵的概念及应用。讨论了矩阵在消元过程中的变换，如通过初等矩阵实现行变换，以及如何利用置换矩阵处理主元为0的情况。此外，还提及了逆矩阵在消元过程中的角色，为后续课程奠定了基础。

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目录

1. 消元（Elimination）

2. 回代（Back substitution）

3. 消元矩阵（Elimination matrices）

4. 置换矩阵（Permutation Matrices）

5. 逆矩阵（Inverse）

Bilibili-MIT-线性代数34讲视频-2

1. 消元（Elimination）

高斯消元法（Gauss elimination）就是通过对方程组中的某两个方程进行适当的数乘和加减，以达到将某一未知数系数变为零，从而削减未知数个数的目的。

$\left\{\begin{matrix} x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2 \end{matrix}\right.$

$Ax=b$

$A=\begin{bmatrix} 1 &2 &1 \\ 3&8 &1 \\ 0& 4 & 1 \end{bmatrix}$ $x=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}$ $b=\begin{bmatrix} 2\\ 12\\ 2 \end{bmatrix}$

首先将x看作主元1（the first pivot），A中row2-3*row1，得到

$\begin{bmatrix} 1 & 2 &1 \\ 0 & 2 & -2\\ 0& 4 & 1 \end{bmatrix}$

同理，将y看作主元2，上述矩阵row3-2*row2，得到三角矩阵u

$U=\begin{bmatrix} 1& 2 &1 \\ 0&2 &-2 \\ 0& 0& 5 \end{bmatrix}$

$\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} U \end{vmatrix}=1\times 2\times 5=10$

上述消元过程对于任意的矩阵，是否都能成立呢？

Success 如上述矩阵，主元存在，可进行加减
Failure 主元为0，可通过换行以使得主元非0，这种失效为暂时性失效，若仍无法解决，则无法继续进行消元

2. 回代（Back substitution）

增广矩阵（augmented matrix）：

在系数矩阵的右边添上一列，这一列是

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